16. В треугольнике ABC угол C равен 135°, AB = 14√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

В нашем случае:

• Сторона c = AB = 14√2
• Противолежащий угол C = 135°
• Радиус описанной окружности R

Подставим известные значения в формулу:

• \[ \frac{14\sqrt{2}}{\sin 135^{\circ}} = 2R \]

Найдем значение синуса 135°:

• \[ \sin 135^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

• \[ \frac{14\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \]
• \[ 14\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \]
• \[ 14 \cdot 2 = 2R \]
• \[ 28 = 2R \]
• \[ R = \frac{28}{2} \]
• \[ R = 14 \]

Ответ: 14