16. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

Задание 16. Равнобедренная трапеция

Дано:

• Равнобедренная трапеция.
• Высота = 5.
• Меньшее основание = 6.
• Угол при основании = 45°.

Найти: большее основание.

Решение:

1. Обозначим трапецию как ABCD, где BC — меньшее основание (BC = 6), а AD — большее основание. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C к основанию AD.
2. BH = CK = 5 (высота трапеции).
3. Угол при основании равен 45°, то есть \( \angle BAD = \angle CDA = 45° \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH = 45°, угол BHA = 90°. Следовательно, угол ABH = 180° - 90° - 45° = 45°.
5. Треугольник ABH — равнобедренный, так как углы при основании AH равны. Значит, AH = BH = 5.
6. Аналогично, в прямоугольном треугольнике CDK, CK = 5, угол CDК = 45°, значит, DK = CK = 5.
7. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки AH и DK равны.
8. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, но нам нужно большее основание AD.
9. AD = AH + HK + DK.
10. HK = BC = 6 (так как BHCK — прямоугольник).
11. AD = 5 + 6 + 5 = 16.

Ответ: 16