16. В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на сумму 419375 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Дано: Сумма кредита (S) = 419375 рублей.

Процентная ставка (r) = 20% = 0.2.

Срок кредита (n) = 4 года.

Платежи равные.

Найти: Общая сумма выплат.

Решение: Пусть $$k = 1 + r = 1 + 0.2 = 1.2$$ – коэффициент увеличения долга.

Обозначим равный ежегодный платёж как $$x$$.

1. После первого года (включая проценты и первый платёж): $$(S \cdot k - x) \cdot k - x = S \cdot k^2 - x \cdot k - x$$ (долг после первого года, затем начисляются проценты, затем делается второй платёж)

2. После второго года: $$(S \cdot k^2 - x \cdot k - x) \cdot k - x = S \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x$$ (долг после второго года, затем начисляются проценты, затем делается третий платёж)

3. После третьего года: $$(S \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x) \cdot k - x = S \cdot k^4 - x \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x$$ (долг после третьего года, затем начисляются проценты, затем делается четвертый платёж)

4. Кредит полностью погашен, значит, после четвертого платежа долг равен 0: $$S \cdot k^4 - x \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$$

$$S \cdot k^4 = x (k^3 + k^2 + k + 1)$$

$$x = \frac{S \cdot k^4}{k^3 + k^2 + k + 1}$$

$$k^4 = (1.2)^4 = 2.0736$$

$$k^3 = (1.2)^3 = 1.728$$

$$k^2 = (1.2)^2 = 1.44$$

$$k^3 + k^2 + k + 1 = 1.728 + 1.44 + 1.2 + 1 = 5.368$$

$$x = \frac{419375 \cdot 2.0736}{5.368} = \frac{869640}{5.368} \approx 161995.94$$

Общая сумма выплат = $$4 \cdot x = 4 \cdot 161995.94 \approx 647983.76$$ рублей.

Ответ: Будет выплачено банку примерно 647984 рубля.