16. Радиус окружности с центром в точке О равен 75, длина хорды АВ равна 90. Найдите расстояние от хорды АВ до параллельной ей касательной к.

Решение:

1. Введём обозначения: радиус окружности \( R = 75 \), длина хорды \( AB = 90 \).
2. Найдём половину длины хорды: \( \frac{AB}{2} = \frac{90}{2} = 45 \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведённым к середине хорды, и половиной хорды. Пусть \( h \) — расстояние от центра окружности до хорды. По теореме Пифагора: \[ h^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = R^2 \] \[ h^2 + 45^2 = 75^2 \] \[ h^2 + 2025 = 5625 \] \[ h^2 = 5625 - 2025 = 3600 \] \[ h = \sqrt{3600} = 60 \]
4. Расстояние от хорды до параллельной касательной равно разности между радиусом и расстоянием от центра до хорды: \( d = R - h \) или \( d = R + h \). В нашем случае касательная находится по ту же сторону от хорды, что и центр, поэтому расстояние равно \( d = R - h \).
5. \( d = 75 - 60 = 15 \).

Ответ: 15