16. Найди радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник АВС, где ∠B = 90°, AB = 21, BC = 12√2.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Что нам дано?

• Прямоугольный треугольник ABC.
• Угол B прямой (90°).
• Длина стороны AB = 21.
• Длина стороны BC = 12√2.
• Треугольник вписан в окружность.

Что нужно найти?

• Радиус окружности (R).

Ключевая идея:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является диаметром описанной окружности. Это значит, что радиус окружности равен половине гипотенузы.

Шаг 1: Найдем гипотенузу AC.

Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AC^2 = 21^2 + (12\sqrt{2})^2 \]

Вычислим квадраты:

\[ 21^2 = 441 \]

\[ (12\sqrt{2})^2 = 12^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 144 \cdot 2 = 288 \]

Теперь сложим:

\[ AC^2 = 441 + 288 \]

\[ AC^2 = 729 \]

Найдем AC, извлекая квадратный корень:

\[ AC = \sqrt{729} \]

Чтобы найти корень из 729, можно вспомнить, что 20^2=400, 30^2=900. Число заканчивается на 9, значит, корень может заканчиваться на 3 или 7. Попробуем 27:

\[ 27 \times 27 = 729 \]

Итак, гипотенуза AC = 27.

Шаг 2: Найдем радиус окружности.

Как мы говорили, гипотенуза AC является диаметром окружности. Значит:

\[ D = AC = 27 \]

Радиус (R) равен половине диаметра:

\[ R = \frac{D}{2} = \frac{27}{2} \]

\[ R = 13.5 \]

Ответ:

Радиус окружности равен 13.5.