16. На отрезке AB выбрана точка С так, что АС = 24 и ВС = 16. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

Дано:

• Точка \( C \) лежит на отрезке \( AB \).
• \( AC = 24 \)
• \( BC = 16 \)
• Окружность с центром в \( A \) проходит через \( C \).

Нужно найти длину касательной из точки \( B \) к окружности.

Во-первых, найдем длину отрезка \( AB \). Так как \( C \) лежит на \( AB \), то \( AB = AC + BC = 24 + 16 = 40 \).

Радиус окружности с центром \( A \), проходящей через \( C \), равен \( AC = 24 \).

Пусть \( BK \) — касательная к окружности, проведенная из точки \( B \). Точка \( K \) лежит на окружности. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. То есть, \( AK ⊥ BK \), а \( AK \) — это радиус окружности, значит \( AK = 24 \).

Мы получили прямоугольный треугольник \( △ AKB \), где \( ∠ AKB = 90^° \).

Известны:

• Гипотенуза \( AB = 40 \)
• Катет \( AK = 24 \)

Нужно найти второй катет \( BK \) (длину касательной).

По теореме Пифагора: \( AB^2 = AK^2 + BK^2 \).

\( 40^2 = 24^2 + BK^2 \)

\( 1600 = 576 + BK^2 \)

\( BK^2 = 1600 - 576 = 1024 \)

\( BK = √{1024} = 32 \).

Ответ: 32