16. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB=80°. Длина меньшей дуги АВ равна 58. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение:

Длина дуги окружности пропорциональна центральному углу, который она опирает.

Полный угол окружности составляет 360°.

Центральный угол, опирающий на меньшую дугу АВ, равен 80°.

Длина меньшей дуги АВ дана как 58.

Сначала найдем длину всей окружности. Пусть длина всей окружности равна C.

Составим пропорцию:

• $$\( \frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{58}{C} \)$$

Решим пропорцию относительно C:

• $$\( C = \frac{58 \cdot 360^{\circ}}{80^{\circ}} \)$$
• $$\( C = \frac{58 \cdot 36}{8} \)$$
• $$\( C = \frac{58 \cdot 9}{2} \)$$
• $$\( C = 29 \cdot 9 \)$$
• $$\( C = 261 \)$$

Длина всей окружности равна 261.

Теперь найдем длину большей дуги АВ. Большая дуга АВ составляет часть окружности, соответствующую углу $$360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ}$$.

Длина большей дуги АВ равна разности длины всей окружности и длины меньшей дуги:

• Длина большей дуги АВ = $$C$$ - Длина меньшей дуги АВ
• Длина большей дуги АВ = $$261 - 58$$
• Длина большей дуги АВ = $$203$$

Ответ: 203