16. Медиана равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону треугольника.

Дано:

• Равносторонний треугольник ABC.
• Медиана = 9√3.

Найти: Сторону треугольника.

Решение:

1. В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной стороны и стороной треугольника. Медиана (высота) делит противоположную сторону пополам.
3. Обозначим сторону треугольника как a. Тогда основание прямоугольного треугольника будет a/2.
4. По теореме Пифагора:

\[ (a/2)^2 + (9\sqrt{3})^2 = a^2 \]

\[ a^2/4 + 81  3 = a^2 \]

\[ a^2/4 + 243 = a^2 \]

\[ 243 = a^2 - a^2/4 \]

\[ 243 = 3a^2/4 \]

\[ a^2 = 243  4 / 3 \]

\[ a^2 = 81  4 \]

\[ a^2 = 324 \]

\[ a = \sqrt{324} \]

\[ a = 18 \]

Ответ: 18