16. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекают- ся под углом 36°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Дано:

Окружность с центром О.

Касательные А и В.

Угол между касательными = 36°.

Найти: Угол АВО.

Решение:

1. Угол между касательными, проведенными из одной точки, равен половине разности дуг, на которые они рассекают окружность.

Пусть точка пересечения касательных будет P. Тогда угол APB = 36°.

2. Рассмотрим треугольник АОР, где А - точка касания. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, угол ОАР = 90°.

3. Аналогично, в треугольнике ВОP, угол ОВР = 90°.

4. В четырехугольнике АОВР (если предположить, что касательные пересекаются в точке P), сумма углов равна 360°. Угол АОВ = 360° - 90° - 90° - 36° = 154°.

5. Однако, в условии сказано, что касательные пересекаются под углом 36°. По условию, именно касательные в точках А и В пересекаются под углом 36°. Это означает, что внешний угол при точке пересечения касательных равен 36°.

6. Рассмотрим треугольник АОВ. OA = OB (радиусы окружности), значит, треугольник АОВ — равнобедренный.

7. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Значит, угол ОАР = 90° и угол ОВР = 90°, где P - точка пересечения касательных.

8. В четырехугольнике АОВР, сумма углов равна 360°. Угол АОВ = 360° - (угол ОАР + угол ОВР + угол APB) = 360° - (90° + 90° + 36°) = 360° - 216° = 144°.

9. В равнобедренном треугольнике АОВ, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°.

Угол ОАВ = Угол ОВА = (180° - Угол АОВ) / 2 = (180° - 144°) / 2 = 36° / 2 = 18°.

Ответ: 18