16. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение:

Обозначим количество часов, отработанных на первом заводе, как \( t_1 \), а на втором заводе — как \( t_2 \).

Из условия задачи следует, что:

• На первом заводе: \( t_1^2 \) часов работы производят \( 3t_1 \) единиц товара.
• На втором заводе: \( t_2^2 \) часов работы производят \( 4t_2 \) единиц товара.

Стоимость одного часа работы на любом заводе составляет 500 рублей. Общий бюджет на оплату труда рабочих в неделю — 5 000 000 рублей.

Общие затраты на оплату труда: \( 500 \cdot t_1 + 500 \cdot t_2 \le 5 000 000 \)

Разделим на 500: \( t_1 + t_2 \le 10 000 \)

Общее количество произведённого товара: \( Q = 3t_1 + 4t_2 \).

Нам нужно максимизировать \( Q \) при условии \( t_1 + t_2 \le 10 000 \) и \( t_1, t_2 \ge 0 \).

Чтобы максимизировать \( Q = 3t_1 + 4t_2 \), при фиксированной сумме \( t_1 + t_2 \), нам выгоднее вкладывать больше часов в тот завод, который производит больше товара за час.

Сравним производительность:

• На первом заводе: \( \frac{3t_1}{t_1^2} = \frac{3}{t_1} \) единиц товара в час (при \( t_1 > 0 \)).
• На втором заводе: \( \frac{4t_2}{t_2^2} = \frac{4}{t_2} \) единиц товара в час (при \( t_2 > 0 \)).

Для максимизации производства, мы должны использовать все 10 000 часов. Пусть \( t_1 + t_2 = 10 000 \).

Выразим \( t_1 = 10000 - t_2 \) и подставим в формулу количества товара:

\( Q = 3(10000 - t_2) + 4t_2 = 30000 - 3t_2 + 4t_2 = 30000 + t_2 \).

Чтобы максимизировать \( Q \), нужно максимизировать \( t_2 \). Максимальное значение \( t_2 \) возможно, когда \( t_1 = 0 \).

Если \( t_1 = 0 \), то \( t_2 = 10 000 \).

В этом случае количество товара составит: \( Q = 3(0) + 4(10000) = 40000 \) единиц.

Проверим, что это возможно. Если \( t_2 = 10000 \), то часы работы \( t_2^2 = 10000^2 = 100 000 000 \). Произведенный товар \( 4t_2 = 4 \times 10000 = 40000 \).

Однако, в условии сказано, что при \( t^2 \) часах работы производится \( 3t \) или \( 4t \) товара. Производительность не является константой, а зависит от \( t \).

Давайте рассмотрим производительность на единицу затраченных денег:

• Завод 1: \( 3t_1 \) товара за \( 500 t_1 \) рублей. Отношение: \( \frac{3t_1}{500 t_1} = \frac{3}{500} \) товара/рубль.
• Завод 2: \( 4t_2 \) товара за \( 500 t_2 \) рублей. Отношение: \( \frac{4t_2}{500 t_2} = \frac{4}{500} \) товара/рубль.

Завод 2 производит больше товара на рубль.

Общий бюджет: 5 000 000 рублей.

Если весь бюджет направить на второй завод:

\( 500 t_2 = 5 000 000 \)

\( t_2 = \frac{5 000 000}{500} = 10 000 \) часов.

Количество товара на втором заводе: \( 4t_2 = 4 \times 10000 = 40000 \) единиц.

Если весь бюджет направить на первый завод:

\( 500 t_1 = 5 000 000 \)

\( t_1 = \frac{5 000 000}{500} = 10 000 \) часов.

Количество товара на первом заводе: \( 3t_1 = 3 \times 10000 = 30000 \) единиц.

Максимальное количество товара достигается, если весь бюджет направить на второй завод.

Ответ: 40 000 единиц товара.