№16.4 (Сибирь) В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 5 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; - в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 50% меньше долга на июль предыдущего года; - в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 6,125 млн рублей. Найдите r.

Решение:

Обозначим сумму кредита как S = 5 млн рублей. Кредит берётся на 4 года, то есть до июля 2032 года.

Пусть \( k = 1 + \frac{r}{100} \) — коэффициент увеличения долга.

1. Июль 2028 г.: Взяли кредит \( S \).

2. Январь 2029 г.: Долг увеличился: \( S \cdot k \).

3. Февраль-Июнь 2029 г.: Выплачена часть долга. Обозначим выплату как \( x \). Долг после выплаты: \( S \cdot k - x \).

4. Июль 2029 г.: По условию, долг должен быть на 50% меньше долга на июль предыдущего года. Это означает, что долг стал равен \( \frac{1}{2} S \).

Таким образом, \( S \cdot k - x = \frac{1}{2} S \).

5. Январь 2030 г.: Долг увеличился: \( \frac{1}{2} S \cdot k \).

6. Февраль-Июнь 2030 г.: Выплачена часть долга \( x \). Долг после выплаты: \( \frac{1}{2} S \cdot k - x \).

7. Июль 2030 г.: Долг снова уменьшился вдвое: \( \frac{1}{4} S \).

\( \frac{1}{2} S \cdot k - x = \frac{1}{4} S \).

8. Январь 2031 г.: Долг увеличился: \( \frac{1}{4} S \cdot k \).

9. Февраль-Июнь 2031 г.: Выплачена часть долга \( x \). Долг после выплаты: \( \frac{1}{4} S \cdot k - x \).

10. Июль 2031 г.: Долг снова уменьшился вдвое: \( \frac{1}{8} S \).

\( \frac{1}{4} S \cdot k - x = \frac{1}{8} S \).

11. Январь 2032 г.: Долг увеличился: \( \frac{1}{8} S \cdot k \).

12. Февраль-Июнь 2032 г.: Выплачена часть долга \( x \). Долг после выплаты: \( \frac{1}{8} S \cdot k - x \).

13. Июль 2032 г.: Долг полностью погашен, то есть равен 0.

\( \frac{1}{8} S \cdot k - x = 0 \).

Мы имеем систему уравнений:

1. \( S \cdot k - x = \frac{1}{2} S \)
2. \( \frac{1}{2} S \cdot k - x = \frac{1}{4} S \)
3. \( \frac{1}{4} S \cdot k - x = \frac{1}{8} S \)
4. \( \frac{1}{8} S \cdot k - x = 0 \)

Из 4-го уравнения: \( x = \frac{1}{8} S \cdot k \).

Подставим \( x \) во 2-е уравнение:

\( \frac{1}{2} S \cdot k - \frac{1}{8} S \cdot k = \frac{1}{4} S \)

\( \frac{3}{8} S \cdot k = \frac{1}{4} S \)

\( \frac{3}{8} k = \frac{1}{4} \)

\( k = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{2}{3} \).

Это противоречит условию \( k = 1 + \frac{r}{100} > 1 \).

Пересмотрим условие:

В июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 50% меньше долга на июль предыдущего года.

Это означает, что каждый год после первой выплаты долг становится ровно половиной от того, что было в июле предыдущего года.

1. Июль 2028 г.: Взяли кредит \( S = 5 \) млн.

2. Январь 2029 г.: Долг \( 5k \).

3. Февраль-Июнь 2029 г.: Выплатили \( x_1 \). Долг стал \( 5k - x_1 \).

4. Июль 2029 г.: Долг стал \( \frac{1}{2} \times 5 \) млн.

\( 5k - x_1 = \frac{5}{2} \) => \( x_1 = 5k - \frac{5}{2} = 5(k - \frac{1}{2}) \).

5. Январь 2030 г.: Долг \( \frac{5}{2}k \).

6. Февраль-Июнь 2030 г.: Выплатили \( x_2 \). Долг стал \( \frac{5}{2}k - x_2 \).

7. Июль 2030 г.: Долг стал \( \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{4} \) млн.

\( \frac{5}{2}k - x_2 = \frac{5}{4} \) => \( x_2 = \frac{5}{2}k - \frac{5}{4} = \frac{5}{4}(2k - 1) \).

8. Январь 2031 г.: Долг \( \frac{5}{4}k \).

9. Февраль-Июнь 2031 г.: Выплатили \( x_3 \). Долг стал \( \frac{5}{4}k - x_3 \).

10. Июль 2031 г.: Долг стал \( \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{8} \) млн.

\( \frac{5}{4}k - x_3 = \frac{5}{8} \) => \( x_3 = \frac{5}{4}k - \frac{5}{8} = \frac{5}{8}(2k - 1) \).

11. Январь 2032 г.: Долг \( \frac{5}{8}k \).

12. Февраль-Июнь 2032 г.: Выплатили \( x_4 \). Долг стал \( \frac{5}{8}k - x_4 \).

13. Июль 2032 г.: Долг полностью погашен, то есть равен 0.

\( \frac{5}{8}k - x_4 = 0 \) => \( x_4 = \frac{5}{8}k \).

Общая сумма выплат по кредиту составила 6,125 млн рублей:

\( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6.125 \)

\( 5(k - \frac{1}{2}) + \frac{5}{4}(2k - 1) + \frac{5}{8}(2k - 1) + \frac{5}{8}k = 6.125 \)

\( 5k - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}k - \frac{5}{4} + \frac{5}{4}k - \frac{5}{8} + \frac{5}{8}k = 6.125 \)

Сгруппируем члены с \( k \) и константы:

\( (5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{4} + \frac{5}{8})k - (\frac{5}{2} + \frac{5}{4} + \frac{5}{8}) = 6.125 \)

Приведём к общему знаменателю 8:

\( (\frac{40}{8} + \frac{20}{8} + \frac{10}{8} + \frac{5}{8})k - (\frac{20}{8} + \frac{10}{8} + \frac{5}{8}) = 6.125 \)

\( \frac{75}{8}k - \frac{35}{8} = 6.125 \)

\( \frac{75}{8}k = 6.125 + \frac{35}{8} \)

\( 6.125 = \frac{6125}{1000} = \frac{49}{8} \)

\( \frac{75}{8}k = \frac{49}{8} + \frac{35}{8} = \frac{84}{8} \)

\( \frac{75}{8}k = \frac{21}{2} \)

\( k = \frac{21}{2} \times \frac{8}{75} = \frac{7 \times 3}{2} \times \frac{8}{3 \times 25} = \frac{7 \times 4}{25} = \frac{28}{25} \).

Теперь найдём \( r \) из \( k = 1 + \frac{r}{100} \):

\( \frac{28}{25} = 1 + \frac{r}{100} \)

\( \frac{r}{100} = \frac{28}{25} - 1 = \frac{28 - 25}{25} = \frac{3}{25} \)

\( r = \frac{3}{25} \times 100 = 3 \times 4 = 12 \).

Проверка:

\( k = 1.12 \).

\( x_1 = 5(1.12 - 0.5) = 5(0.62) = 3.1 \)

\( x_2 = \frac{5}{4}(2 \times 1.12 - 1) = 1.25(2.24 - 1) = 1.25(1.24) = 1.55 \)

\( x_3 = \frac{5}{8}(2 \times 1.12 - 1) = 0.625(1.24) = 0.775 \)

\( x_4 = \frac{5}{8} \times 1.12 = 0.625 \times 1.12 = 0.7 \)

\( 3.1 + 1.55 + 0.775 + 0.7 = 6.125 \).

Сумма выплат совпадает.

Ответ: r = 12.