157. log_{0,1} ( (5x+20)/3 ) = -2

Привет! Давай разберемся с этим логарифмическим уравнением. Не бойся, это проще, чем кажется!

Условие:

• \[ \log_{0.1} \left( \frac{5x+20}{3} \right) = -2 \]

Решение:

1. Что такое логарифм? Помни, что логарифм - это показатель степени. То есть, если у нас есть \[ \log_b a = c \], то это значит, что \( b^c = a \).
2. Применяем определение к нашему уравнению: В нашем случае основание логарифма \( b = 0.1 \), результат \( c = -2 \), а выражение под логарифмом \( a = \frac{5x+20}{3} \).
3. Преобразуем основание: Основание \( 0.1 \) можно записать как \( \frac{1}{10} \) или \( 10^{-1} \).
4. Подставляем в формулу: Теперь наше уравнение выглядит так:
• \[ \left( \frac{1}{10} \right)^{-2} = \frac{5x+20}{3} \]
• Или, используя \( 10^{-1} \):
• \[ (10^{-1})^{-2} = \frac{5x+20}{3} \]
5. Упрощаем левую часть: При возведении степени в степень, показатели перемножаются: \( (10^{-1})^{-2} = 10^{(-1) \times (-2)} = 10^2 = 100 \).
6. Приравниваем: Теперь наше уравнение стало намного проще:
• \[ 100 = \frac{5x+20}{3} \]
7. Решаем линейное уравнение:
• Умножаем обе стороны на 3:
• \[ 100 \times 3 = 5x+20 \]
• \[ 300 = 5x+20 \]
• Вычитаем 20 из обеих сторон:
• \[ 300 - 20 = 5x \]
• \[ 280 = 5x \]
• Делим обе стороны на 5:
• \[ x = \frac{280}{5} \]
• \[ x = 56 \]
8. Проверка: Всегда полезно проверить! Подставим \( x=56 \) обратно в исходное уравнение:
• \[ \frac{5(56)+20}{3} = \frac{280+20}{3} = \frac{300}{3} = 100 \]
• Теперь проверяем сам логарифм: \( \log_{0.1} 100 \). Мы знаем, что \( 0.1^{-2} = (10^{-1})^{-2} = 10^2 = 100 \). Все верно!

Ответ: 56