155. На рисунке 61 хорда CD пересекает диаметр AB в точке K, ∠DEK = ∠CFK = 90°, ∠DKA = 60°, EF = 10 см. Найдите хорду CD.

Краткая запись:

• CD — хорда
• AB — диаметр
• K — точка пересечения CD и AB
• ∠DEK = ∠CFK = 90°
• ∠DKA = 60°
• EF = 10 см
• Найти: CD — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник DKE. Угол ∠DKA = 60°, значит, ∠DKE = 180° - 60° = 120° (если K находится между D и E, что не указано, но по рисунку так). Предположим, что K - точка пересечения на диаметре AB. ∠DKA = 60°, тогда ∠DKB = 180° - 60° = 120°. Если K - точка пересечения CD и AB, и ∠DKA = 60°, то угол между хордой CD и диаметром AB равен 60°.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике DKE, ∠DEK = 90°, ∠DKA = 60°. Тогда ∠EDK = 180° - 90° - 60° = 30°.
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике EKF, ∠EFK = 90°. Угол ∠EKF = ∠DKA = 60° (вертикальные углы). Тогда ∠FEK = 180° - 90° - 60° = 30°.
4. Шаг 4: В треугольнике EKF, EF = 10 см. Угол ∠FEK = 30°. Используя тригонометрию: \( \frac{EF}{EK} = \tan(60°) \) или \( \frac{EK}{EF} = \tan(30°) \). \( EK = \frac{EF}{\tan(60°)} = \frac{10}{\text{sqrt(3)}} = \frac{10\text{sqrt(3)}}{3} \) см.
5. Шаг 5: Также \( \frac{EF}{FK} = \tan(60°) \). \( FK = \frac{EF}{\tan(60°)} = \frac{10}{\text{sqrt(3)}} = \frac{10\text{sqrt(3)}}{3} \) см.
6. Шаг 6: В прямоугольном треугольнике DKE, ∠EDK = 30°. \( \frac{EK}{DK} = \tan(30°) \). \( DK = \frac{EK}{\tan(30°)} = \frac{10\text{sqrt(3)}/3}{1/\text{sqrt(3)}} = \frac{10\text{sqrt(3)}}{3} · \text{sqrt(3)} = \frac{10 · 3}{3} = 10 \) см.
7. Шаг 7: В прямоугольном треугольнике CFK, ∠CFK = 90°. Угол ∠CKF = ∠DKA = 60° (вертикальные углы). \( \frac{FK}{CK} = \tan(60°) \). \( CK = \frac{FK}{\tan(60°)} = \frac{10\text{sqrt(3)}/3}{\text{sqrt(3)}} = \frac{10}{3} \) см.
8. Шаг 8: Хорда CD = CK + KD.
9. Шаг 9: CD = \( \frac{10}{3} + 10 = \frac{10 + 30}{3} = \frac{40}{3} \) см.

Ответ: ½CD = ½ · ½ · ½½