15. В треугольнике АВС угол А равен 60°. угол В равен 45°, ВС = 5√6. Найдите длину стороны АС.

Пошаговое решение:

• По теореме синусов для треугольника ABC: \( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \)
• Подставляем известные значения: \( \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} \)
• Известно, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Подставляем значения синусов: \( \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)
• Упрощаем: \( 5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \)
• \( \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{2AC}{\sqrt{2}} \)
• \( 10\sqrt{2} = \frac{2AC}{\sqrt{2}} \)
• Умножаем обе стороны на \( \sqrt{2} \): \( 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2AC \)
• \( 10 \cdot 2 = 2AC \)
• \( 20 = 2AC \)
• \( AC = \frac{20}{2} = 10 \)

Ответ: 10