15. В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = 6√6. Найдите АС.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

В нашем треугольнике ABC:

Угол A = 45°

Угол B = 60°

Чтобы найти угол C, вспомним, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

Угол C = 180° - Угол A - Угол B = 180° - 45° - 60° = 75°.

По теореме синусов имеем:

$$ \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)} $$

Подставляем известные значения:

$$ \frac{AC}{\sin(60°)} = \frac{6\sqrt{6}}{\sin(45°)} $$

Теперь найдем значения синусов:

$$ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Подставляем значения синусов в уравнение:

$$ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$

Упрощаем:

$$ AC \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{6} \times \frac{2}{\sqrt{2}} $$

$$ \frac{2AC}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{6}}{\sqrt{2}} $$

$$ \frac{2AC}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{\frac{6}{2}} $$

$$ \frac{2AC}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} $$

Теперь выразим AC:

$$ 2AC = 12\sqrt{3} \times \sqrt{3} $$

$$ 2AC = 12 \times 3 $$

$$ 2AC = 36 $$

$$ AC = \frac{36}{2} $$

$$ AC = 18 $$

Ответ: 18