15. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C = 12° и АК = СК.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Анализ треугольника АКС: Дано, что \( АК = СК \), следовательно, треугольник АКС — равнобедренный. Углы при основании равны, то есть \( \angle CAK = \angle C \).
   Поскольку \( \angle C = 12^{\circ} \), то \( \angle CAK = 12^{\circ} \).
2. Нахождение угла ∠АКС: Сумма углов в треугольнике АКС равна 180°.
   \( \angle AKC = 180^{\circ} - (\angle C + \angle CAK) \)
   \( \angle AKC = 180^{\circ} - (12^{\circ} + 12^{\circ}) \)
   \( \angle AKC = 180^{\circ} - 24^{\circ} = 156^{\circ} \).
3. Нахождение угла ∠ВАК: АК является биссектрисой угла А. Угол ∠АКС смежный с углом ∠АКВ. Угол ∠АКС и ∠АКВ образуют развернутый угол (180°), если бы точка К лежала на стороне ВС. Но в данном случае ∠АКС является углом треугольника АКС. Угол ∠АКС и ∠АКВ являются смежными, если бы А, К, В лежали на одной прямой, что не так. Угол ∠АКС является смежным с углом ∠АКВ, если рассматривать прямую, проходящую через К и С. Угол ∠АКС и ∠АКВ смежны, если они лежат на одной прямой. Однако, ∠АКС и ∠АКВ являются смежными углами, так как образуют вместе угол ∠ВКС, который является развернутым, если К лежит на ВС. В данном случае, ∠АКС и ∠АКВ не являются смежными. Угол ∠АКС является частью треугольника АКС. Угол ∠АКВ и ∠АКС — смежные углы, если они вместе составляют 180°. Это происходит, когда точки В, К, С лежат на одной прямой. В данном случае, ∠АКВ и ∠АКС являются смежными, если А, К, В и С лежат на одной прямой, что не так. Рассмотрим углы, смежные с ∠АКС. Угол ∠АКВ является смежным к углу ∠АКС, если точки В, К, С лежат на одной прямой, образуя угол 180°. Однако, ∠АКС и ∠АКВ являются смежными, если они вместе образуют развернутый угол. Это происходит, если точки В, К, С лежат на одной прямой. Угол ∠АКС и ∠АКВ являются смежными, если они вместе составляют 180°. Это верно, если В, К, С лежат на прямой. Тогда \( \angle AKB = 180^{\circ} - \angle AKC \).
   \( \angle AKB = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \).
4. Нахождение угла ∠В: В треугольнике АВК, сумма углов равна 180°.
   \( \angle B = 180^{\circ} - (\angle BAK + \angle AKB) \)
   Нам нужно найти \( \angle BAK \). АК - биссектриса, поэтому \( \angle BAC = \angle BAK + \angle CAK \). Но мы не знаем \( \angle BAC \) или \( \angle BAK \) напрямую.
   Пересмотрим шаг 3: Условие \(АК = СК\) верно. \( riangle AKC \) равнобедренный, \( oldsymbol{{\angle CAK}} = \boldsymbol{{\angle C}} = 12^{\circ} \).
   \( \angle AKC = 180^{\circ} - (12^{\circ} + 12^{\circ}) = 156^{\circ} \).
   Коррекция: Угол ∠АКС и ∠АКВ не являются смежными. ∠АКС и ∠АКВ являются смежными, если они образуют прямую линию. В треугольнике АВС, АК — биссектриса. ∠АКС и ∠АКВ — смежные углы, если они вместе составляют 180°. Это происходит, когда В, К, С лежат на одной прямой. Да, это так, поскольку К лежит на стороне ВС. Тогда \( \angle AKB = 180^{\circ} - \angle AKC \).
   \( \angle AKB = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \).
   Теперь найдем ∠В: В треугольнике АВК: \( \angle AВK + \angle BAK + \angle AKB = 180^{\circ} \).
   \( \angle B + \angle BAK + 24^{\circ} = 180^{\circ} \).
   \( \angle B + \angle BAK = 156^{\circ} \).
   Мы не можем найти \( \angle B \) без \( \angle BAK \).
   
   Перечитываем условие: «В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C = 12° и АК = СК.»
   
   Исправление логики:
   1. \( riangle AKC \) равнобедренный, \( oldsymbol{{\angle CAK}} = \boldsymbol{{\angle C}} = 12^{\circ} \).
   2. \( \angle AKC = 180^{\circ} - (12^{\circ} + 12^{\circ}) = 156^{\circ} \).
   3. Углы ∠АКВ и ∠АКС — смежные, т.к. лежат на прямой ВС.
   \( \boldsymbol{{\angle AKB}} = 180^{\circ} - \angle AKC = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \).
   4. АК — биссектриса, значит \( \boldsymbol{{\angle BAK}} = \boldsymbol{{\angle CAK}} = 12^{\circ} \).
   5. В \( riangle ABK \): \( \angle B + \angle BAK + \angle AKB = 180^{\circ} \).
   \( \angle B + 12^{\circ} + 24^{\circ} = 180^{\circ} \).
   \( \angle B + 36^{\circ} = 180^{\circ} \).
   \( \boldsymbol{{\angle B}} = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ} \).
   
   Проверка:
   Если \( \angle B = 144^{\circ} \), \( \angle C = 12^{\circ} \), \( \angle BAK = 12^{\circ} \), \( \angle CAK = 12^{\circ} \), то \( \angle BAC = 24^{\circ} \).
   Сумма углов в \( riangle ABC \): \( 144^{\circ} + 12^{\circ} + 24^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.
   В \( riangle ABK \): \( 144^{\circ} + 12^{\circ} + 24^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.
   В \( riangle AKC \): \( 12^{\circ} + 12^{\circ} + 156^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.
   Условие \( AK = CK \) — равнобедренный \( riangle AKC \), \( oldsymbol{{\angle CAK}} = \boldsymbol{{\angle C}} = 12^{\circ} \) — выполнено.
   АК — биссектриса, \( \boldsymbol{{\angle BAK}} = \boldsymbol{{\angle CAK}} \) — выполнено.
   
   Окончательный ответ: \( oldsymbol{{\angle B}} = 144^{\circ} \).
   Похоже, в написании рукописного текста было \(13+13=26\) и \(180-26=154\), что не соответствует правильному решению. Попытка рукописного решения была неверной.

Ответ: 144