15. В треугольнике ABC AB = BC, а высота АН делит сторону BC на отрезки ВН = 7 и СН = 18. Найдите cos B.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC. Высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 7 и CH = 18.

Рассмотрим два случая расположения точки H на стороне BC:

1. Случай 1: Точка H лежит между B и C.
   В этом случае BC = BH + CH = 7 + 18 = 25. Так как AB = BC, то AB = 25.
   В прямоугольном треугольнике ABH (угол AHB = 90°), применим теорему Пифагора: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
   \( 25^2 = AH^2 + 7^2 \)
   \( 625 = AH^2 + 49 \)
   \( AH^2 = 625 - 49 = 576 \)
   \( AH = \sqrt{576} = 24 \).
   В прямоугольном треугольнике ABH, \( \cos B = \frac{BH}{AB} = \frac{7}{25} \).
2. Случай 2: Точка H лежит вне отрезка BC, за точкой C.
   В этом случае BC = CH - BH = 18 - 7 = 11. Так как AB = BC, то AB = 11.
   В прямоугольном треугольнике ABH, применим теорему Пифагора: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
   \( 11^2 = AH^2 + 7^2 \)
   \( 121 = AH^2 + 49 \)
   \( AH^2 = 121 - 49 = 72 \)
   \( AH = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \).
   В прямоугольном треугольнике ABH, \( \cos B = \frac{BH}{AB} = \frac{7}{11} \).
3. Случай 3: Точка H лежит вне отрезка BC, за точкой B.
   В этом случае BC = BH - CH = 7 - 18 = -11, что невозможно.

По условию задачи, высота AH делит сторону BC на отрезки BH=7 и CH=18. Это означает, что точка H находится на стороне BC. Если бы H была вне отрезка, то говорилось бы о продолжении стороны BC. Таким образом, рассматриваем только первый случай.

Ответ: \( \cos B = \frac{7}{25} \).