15.В правильной треугольной пирамиде апофема, равная 6см составляет с плоскостью основания угол 60° Вычислить площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде апофема \( l = 6 \) см.

Угол между апофемой и плоскостью основания \( \alpha = 60^{\circ} \).

1. Найдём высоту пирамиды \( H \) и радиус вписанной окружности \( r \) основания:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности. В этом треугольнике апофема — гипотенуза, угол между ней и радиусом — \( 60^{\circ} \).
• \( r = l \cdot \cos(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.
• \( H = l \cdot \sin(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.

2. Найдём сторону основания \( a \):

• Для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной формулой: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
• Отсюда сторона основания: \( a = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) см.

3. Найдём площадь основания \( S_{осн} \):

• Площадь правильного треугольника: \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).
• \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} (6\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 \cdot 3 = 27\sqrt{3} \) см².

4. Найдём площадь боковой поверхности \( S_{бок} \):

• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.
• Периметр основания: \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \) см.
• \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 6 = 54\sqrt{3} \) см².

5. Найдём площадь полной поверхности \( S_{полн} \):

• Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).
• \( S_{полн} = 27\sqrt{3} + 54\sqrt{3} = 81\sqrt{3} \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды составляет \( 81\sqrt{3} \) см².