15. Решите неравенство 1g^2(x+2)^2(x+5)/5 < 1g^2(x+5)/20.

Решение:

Для решения данного неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Логарифмическая функция определена только для положительных аргументов. В данном случае, аргументы логарифмов должны быть больше нуля:

\( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} > 0 \) и \( \frac{x+5}{20} > 0 \).

Из \( \frac{x+5}{20} > 0 \) следует \( x+5 > 0 \), то есть \( x > -5 \).

Выражение \( (x+2)^2 \) всегда неотрицательно. Следовательно, для выполнения \( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} > 0 \) необходимо, чтобы \( x+5 > 0 \) и \( x \neq -2 \) (чтобы знаменатель не был равен нулю, и числитель не был равен нулю из-за \( (x+2)^2 \)).

Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > -5 \) и \( x \neq -2 \).

Теперь решим само неравенство. Так как основания логарифмов одинаковы (и подразумевается, что они больше 1, обычно 10 для \( \text{lg} \)), мы можем привести аргументы к одному виду или использовать свойства логарифмов.

Прологарифмируем обе части неравенства:

\[ \text{lg}^2 \left( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} \right) < \text{lg}^2 \left( \frac{x+5}{20} \right) \]

Для удобства введём замену: \( A = \text{lg} \left( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} \right) \) и \( B = \text{lg} \left( \frac{x+5}{20} \right) \).

Неравенство принимает вид: \( A^2 < B^2 \).

Это эквивалентно \( A^2 - B^2 < 0 \), что раскладывается как \( (A - B)(A + B) < 0 \).

Рассмотрим \( A - B \):

\[ \text{lg} \left( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} \right) - \text{lg} \left( \frac{x+5}{20} \right) < 0 \]

\[ \text{lg} \left( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} \cdot \frac{20}{x+5} \right) < 0 \]

\[ \text{lg} \left( 4(x+2)^2 \right) < 0 \]

Поскольку \( \text{lg}(y) < 0 \) когда \( 0 < y < 1 \), получаем:

\[ 0 < 4(x+2)^2 < 1 \]

Из \( 4(x+2)^2 < 1 \) следует \( (x+2)^2 < \frac{1}{4} \), что даёт \( -\frac{1}{2} < x+2 < \frac{1}{2} \).

Отсюда \( -2.5 < x < -1.5 \).

Теперь рассмотрим \( A + B \):

\[ \text{lg} \left( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} \right) + \text{lg} \left( \frac{x+5}{20} \right) < 0 \]

\[ \text{lg} \left( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} \cdot \frac{x+5}{20} \right) < 0 \]

\[ \text{lg} \left( \frac{(x+2)^2(x+5)^2}{100} \right) < 0 \]

\[ \text{lg} \left( \left( \frac{(x+2)(x+5)}{10} \right)^2 \right) < 0 \]

Аналогично, \( 0 < \left( \frac{(x+2)(x+5)}{10} \right)^2 < 1 \).

Из \( \left( \frac{(x+2)(x+5)}{10} \right)^2 < 1 \) следует \( -1 < \frac{(x+2)(x+5)}{10} < 1 \).

Это даёт \( -10 < (x+2)(x+5) < 10 \).

Раскроем скобки: \( x^2 + 7x + 10 \).

1) \( x^2 + 7x + 10 < 10 \) → \( x^2 + 7x < 0 \) → \( x(x+7) < 0 \). Корни: 0 и -7. Значит, \( -7 < x < 0 \).

2) \( x^2 + 7x + 10 > -10 \) → \( x^2 + 7x + 20 > 0 \). Дискриминант \( D = 7^2 - 4 · 1 · 20 = 49 - 80 = -31 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола всегда выше оси \( x \), то есть \( x^2 + 7x + 20 > 0 \) для всех \( x \).

Таким образом, из \( A + B < 0 \) получаем \( -7 < x < 0 \).

Теперь объединим все условия: \( (A - B)(A + B) < 0 \). Это означает, что либо \( (A - B < 0 \text{ и } A + B > 0) \), либо \( (A - B > 0 \text{ и } A + B < 0) \).

Случай 1: \( A - B < 0 \) и \( A + B > 0 \).

\( -2.5 < x < -1.5 \) и \( -7 < x < 0 \). Пересечение: \( -2.5 < x < -1.5 \).

Случай 2: \( A - B > 0 \) и \( A + B < 0 \).

\( 4(x+2)^2 > 1 \) → \( |x+2| > 0.5 \) → \( x+2 > 0.5 \) или \( x+2 < -0.5 \) → \( x > -1.5 \) или \( x < -2.5 \).

И \( -7 < x < 0 \).

Пересечение \( (x > -1.5 \text{ или } x < -2.5) \) и \( -7 < x < 0 \) даёт \( (-7 < x < -2.5) \text{ или } (-1.5 < x < 0) \).

Теперь объединим результаты обоих случаев:

\( (-2.5 < x < -1.5) \) ∪ \( ((-7 < x < -2.5) \text{ или } (-1.5 < x < 0)) \).

Это даёт \( -7 < x < 0 \).

Наконец, учтём ОДЗ: \( x > -5 \) и \( x \neq -2 \).

Пересечение \( (-7 < x < 0) \) с \( x > -5 \) и \( x \neq -2 \) даёт:

\[ (-5 < x < 0) \text{ и } x \neq -2 \]

Это соответствует интервалам \( (-5, -2) \) и \( (-2, 0) \).

Ответ: \( x \in (-5, -2) \cup (-2, 0) \).