15. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.

Дано:

• Равносторонний треугольник.

• Радиус вписанной окружности (r) = 3.

Найти:

• Высоту треугольника (h).

Решение:

1. Свойства равностороннего треугольника:

• В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

• Высота равностороннего треугольника делится в отношении 2:1, считая от вершины. Отрезок, который ближе к стороне, является радиусом вписанной окружности (r), а отрезок, который ближе к вершине, является радиусом описанной окружности (R).

• Следовательно, высота h равна сумме радиусов вписанной и описанной окружности:

  \[ h = R + r \]

• Также, радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

  \[ R = 2r \]

2. Вычислим высоту:

• Подставим

  \[ R = 2r \]

  в формулу высоты:

  \[ h = 2r + r = 3r \]

• У нас дано, что

  \[ r = 3 \]

  . Подставим это значение:

  \[ h = 3 \times 3 = 9 \]

Ответ: 9