15. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках А и В, причем точки I и J лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что отрезки АВ и IJ перпендикулярны.

Решение:

1. Свойства пересекающихся окружностей: Линия центров двух пересекающихся окружностей (IJ) является серединным перпендикуляром к их общей хорде (АВ).
2. Рассмотрение треугольников: Рассмотрим треугольники ΔAIB и ΔAJB.
• AI = BI (радиусы первой окружности)
• AJ = BJ (радиусы второй окружности)
• AB - общая сторона.
3. Подобие треугольников: Треугольники ΔAIB и ΔAJB являются равнобедренными.
4. Линия центров: Отрезок IJ соединяет центры окружностей.
5. Свойство линии центров: Линия центров (IJ) перпендикулярна к общей хорде (АВ) и делит ее пополам.
6. Доказательство перпендикулярности:
• Рассмотрим треугольник ΔAIJ и ΔBIJ.
• AI = BI (радиусы)
• AJ = BJ (радиусы)
• IJ - общая сторона.
• Следовательно, ΔAIJ ≅ ΔBIJ по трем сторонам.
• Отсюда следует, что ∠AIJ = ∠BIJ.
• Рассмотрим треугольник ΔAIB. Он равнобедренный (AI=BI). Отрезок IJ является биссектрисой угла ∠AIB, так как ∠AIJ = ∠BIJ. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой и высотой.
• Следовательно, IJ ⊥ AB.
7. Альтернативное доказательство:
• Пусть O - точка пересечения AB и IJ.
• Рассмотрим ΔAIO и ΔBIO.
• AI = BI (радиусы).
• IO - общая сторона.
• ∠AIO = ∠BIO (из ΔAIJ ≅ ΔBIJ).
• Следовательно, ΔAIO ≅ ΔBIO по двум сторонам и углу между ними.
• Отсюда ∠AOI = ∠BOI.
• Так как ∠AOI + ∠BOI = 180° (развернутый угол), то ∠AOI = ∠BOI = 90°.
• Следовательно, IJ ⊥ AB.

Ответ: Отрезки АВ и IJ перпендикулярны, что следует из свойств пересекающихся окружностей и равенства треугольников, образованных центрами, точками пересечения и одной из точек пересечения окружностей.