15. Неравенство. Решите неравенство методом интервалов: $$\\frac{x^2-9}{x-2} \le 0$$

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя.

   Числитель:

   \[ x^2 - 9 = 0 \]\[ x^2 = 9 \]\[ x = \pm 3 \]
2. Знаменатель не может быть равен нулю:

Знаменатель:

\[ x - 2 = 0 \]\[ x = 2 \]

Отметим эти точки на числовой прямой: -3, 2, 3.

Разделим числовую прямую на интервалы и определим знак выражения в каждом интервале.

• (-∞; -3]: Возьмем x = -4.
  \[ \frac{(-4)^2 - 9}{-4 - 2} = \frac{16 - 9}{-6} = \frac{7}{-6} < 0 \] (Знак "-")
• [-3; 2): Возьмем x = 0.
  \[ \frac{0^2 - 9}{0 - 2} = \frac{-9}{-2} = 4.5 > 0 \] (Знак "+")
• (2; 3]: Возьмем x = 2.5.
  \[ \frac{(2.5)^2 - 9}{2.5 - 2} = \frac{6.25 - 9}{0.5} = \frac{-2.75}{0.5} < 0 \] (Знак "-")
• [3; +∞): Возьмем x = 4.
  \[ \frac{4^2 - 9}{4 - 2} = \frac{16 - 9}{2} = \frac{7}{2} > 0 \] (Знак "+")

Нам нужно, чтобы выражение было ≤ 0.

Учитываем, что знаменатель не может быть равен нулю (x ≠ 2).

Ответ: [-3; 2) ∪ [3; +∞)