15. Найдите значение выражения: a) \( 3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - 1}} \) б) \( 3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 - \frac{1}{3}}} \)

Решение:

а) \( 3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - 1}} \)

1. Начнём с нижнего выражения: \( 3 - 1 = 2 \).
2. Далее: \( 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \).
3. Теперь подставим это значение в исходное выражение: \( 3 - \frac{1}{\frac{5}{2}} = 3 - \frac{2}{5} = \frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5} \).

б) \( 3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 - \frac{1}{3}}} \)

1. Начнём с нижнего выражения: \( 3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \).
2. Далее: \( 3 + \frac{1}{\frac{8}{3}} = 3 + \frac{3}{8} = \frac{24}{8} + \frac{3}{8} = \frac{27}{8} \).
3. Теперь подставим это значение в исходное выражение: \( 3 + \frac{1}{\frac{27}{8}} = 3 + \frac{8}{27} = \frac{81}{27} + \frac{8}{27} = \frac{89}{27} \).

Ответ: а) \( \frac{13}{5} \); б) \( \frac{89}{27} \).