15. Наибольший общий делитель чисел a = 2.3.3.3.5.5 и b = 2·3·3·5·5·5 равен

Решение:

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, нужно разложить каждое число на простые множители и выбрать общие множители с наименьшей степенью.

Разложение числа a на множители:

\( a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \)

Разложение числа b на множители:

\( b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \)

Общие множители чисел a и b:

• \( 2 \) (наименьшая степень \( 2^1 \))
• \( 3 \) (наименьшая степень \( 3^2 \))
• \( 5 \) (наименьшая степень \( 5^2 \))

Чтобы найти НОД, перемножим эти общие множители с наименьшей степенью:

\( \text{НОД}(a, b) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \)

Вычислим значение:

\( \text{НОД}(a, b) = 2 \cdot 9 \cdot 25 = 18 \cdot 25 \)

\( 18 \cdot 25 = 18 \cdot \frac{100}{4} = \frac{1800}{4} = 450 \)

Однако, давайте внимательно посмотрим на предложенные варианты ответов. Возможно, я ошиблась в интерпретации записи. Если точки означают умножение, то:

\( a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \) (здесь 6 множителей)

\( b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \) (здесь 6 множителей)

Общие простые множители:

• \( 2 \) — есть у обоих.
• \( 3 \) — есть у обоих.
• \( 3 \) — есть у обоих.
• \( 5 \) — есть у обоих.
• \( 5 \) — есть у обоих.

НОД = \( 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 25 = 18 \cdot 25 = 450 \)

Перепроверим варианты:

1. \( 5 \)
2. \( 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \)
3. \( 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 36 \cdot 25 = 900 \)
4. \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 2 \cdot 9 \cdot 25 = 450 \)

Вариант 4 совпадает с нашим расчетом. Скорее всего, запись \( b = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 \) содержит опечатку, и на самом деле \( b = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 \) или \( a = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 \) и \( b = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 \).

Давайте исходить из того, что варианты ответов верны, и НОД является одним из них.

\( a = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 \)

\( b = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 \)

Общие множители:

• \( 2 \) (один раз)
• \( 3 \) (два раза)
• \( 5 \) (два раза)

\( \text{НОД} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 25 = 18 \cdot 25 = 450 \)

Среди предложенных вариантов такого нет.

Давайте рассмотрим другой вариант интерпретации: возможно, в \(a\) меньше множителей, а в \(b\) больше.

Предположим, что \(a\) и \(b\) представлены таким образом:

\( a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \)

\( b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \)

Тогда НОД будет \( 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 450 \).

Теперь посмотрим на варианты ответов:

1) \( 5 \)

2) \( 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \)

3) \( 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 900 \)

4) \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 450 \)

Вариант 4 совпадает с нашим расчетом, если предположить, что в \(a\) есть \(2, 3, 3, 5, 5\) и в \(b\) есть \(2, 3, 3, 3, 5, 5, 5\) или наоборот.

Рассмотрим вариант, где \(a\) = \(2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5\) и \(b\) = \(2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5\) как было изначально написано.

\( a = 2^1 · 3^3 · 5^2 \)

\( b = 2^1 · 3^2 · 5^3 \)

\( \text{НОД} = 2^1 · 3^2 · 5^2 = 2 · 9 · 25 = 450 \).

Вариант 4: \( 2 · 3 · 5 · 5 · 3 \). Это то же самое, что \( 2 · 3 · 3 · 5 · 5 \), что равно 450. Таким образом, вариант 4 является правильным ответом, несмотря на возможное неточное написание в задании.

Пояснение к варианту 4:

\( 2 · 3 · 5 · 5 · 3 = 2 · (3 · 3) · (5 · 5) = 2 · 9 · 25 = 18 · 25 = 450 \)

Ответ: 4.