15. На рисунке 14 представлены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\). Определите: а) координаты начала и конца каждого вектора; б) проекции векторов на координатные оси \(Ox\) и \(Oy\); в) модули векторов.

Решение:

На рисунке 14 изображены векторы, начало которых находится в точке \((0, 0)\), а конец — в различных точках координатной плоскости.

а) Координаты начала и конца векторов:

• Вектор \(\vec{a}\): начало \(A_a = (0, 0)\), конец \(B_a = (3, 2)\).
• Вектор \(\vec{b}\): начало \(A_b = (0, 0)\), конец \(B_b = (3, -2)\).
• Вектор \(\vec{c}\): начало \(A_c = (0, 0)\), конец \(B_c = (-3, -3)\).
• Вектор \(\vec{d}\): начало \(A_d = (0, 0)\), конец \(B_d = (-2, 3)\).

б) Проекции векторов на координатные оси \(Ox\) и \(Oy\):

Проекции вектора на оси равны разности координат конца и начала вектора.

• Для вектора \(\vec{a}\): \(a_x = 3 - 0 = 3\), \(a_y = 2 - 0 = 2\). Вектор \(\vec{a}\) имеет проекции \((3, 2)\).
• Для вектора \(\vec{b}\): \(b_x = 3 - 0 = 3\), \(b_y = -2 - 0 = -2\). Вектор \(\vec{b}\) имеет проекции \((3, -2)\).
• Для вектора \(\vec{c}\): \(c_x = -3 - 0 = -3\), \(c_y = -3 - 0 = -3\). Вектор \(\vec{c}\) имеет проекции \((-3, -3)\).
• Для вектора \(\vec{d}\): \(d_x = -2 - 0 = -2\), \(d_y = 3 - 0 = 3\). Вектор \(\vec{d}\) имеет проекции \((-2, 3)\).

в) Модули векторов:

Модуль вектора находится по формуле \(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\).

• Модуль вектора \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\).
• Модуль вектора \(\vec{b}\): \(|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\).
• Модуль вектора \(\vec{c}\): \(|\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
• Модуль вектора \(\vec{d}\): \(|\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\).

Ответ:

а) Координаты векторов: \(\vec{a} = (3, 2)\), \(\vec{b} = (3, -2)\), \(\vec{c} = (-3, -3)\), \(\vec{d} = (-2, 3)\).

б) Проекции на оси: \(a_x=3, a_y=2\); \(b_x=3, b_y=-2\); \(c_x=-3, c_y=-3\); \(d_x=-2, d_y=3\).

в) Модули: \(|\vec{a}| = \sqrt{13}\); \(|\vec{b}| = \sqrt{13}\); \(|\vec{c}| = 3\sqrt{2}\); \(|\vec{d}| = \sqrt{13}\).