15. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 32 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найди скорость первого автомобиля. Ответ дай в км/ч.

Давай разберемся с этой задачей по шагам. Она связана с движением, так что нам понадобятся формулы пути, скорости и времени.

1. Обозначим переменные:
   Пусть:
   • $$S$$ — расстояние от А до В (весь путь).
   • $$v_1$$ — скорость первого автомобиля (то, что нам нужно найти).
   • $$v_2$$ — скорость второго автомобиля.
   • $$t_1$$ — время первого автомобиля в пути.
   • $$t_2$$ — время второго автомобиля в пути.
2. Первый автомобиль:
   Он проехал всё расстояние $$S$$ со скоростью $$v_1$$. Значит, время в пути для него:
   \[ t_1 = \frac{S}{v_1} \]
3. Второй автомобиль:
   Он проехал первую половину пути ($$S/2$$) со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути ($$S/2$$) со скоростью, большей скорости первого на 32 км/ч. Это значит, что скорость второго автомобиля на втором участке: $$v_2 = v_1 + 32$$.
   Время второго автомобиля в пути складывается из времени на каждом участке:
   \[ t_2 = \frac{S/2}{48} + \frac{S/2}{v_1 + 32} \]
4. Условие задачи:
   Автомобили прибыли одновременно, значит, их время в пути равно: $$t_1 = t_2$$.
   \[ \frac{S}{v_1} = \frac{S/2}{48} + \frac{S/2}{v_1 + 32} \]
5. Решаем уравнение:
   Мы можем разделить обе части уравнения на $$S$$ (поскольку $$S$$ не равно нулю):
   \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1/2}{48} + \frac{1/2}{v_1 + 32} \]
   Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей 1/2:
   \[ \frac{2}{v_1} = \frac{1}{48} + \frac{1}{v_1 + 32} \]
   Теперь приведем правую часть к общему знаменателю:
   \[ \frac{2}{v_1} = \frac{(v_1 + 32) + 48}{48(v_1 + 32)} \]
   \[ \frac{2}{v_1} = \frac{v_1 + 80}{48(v_1 + 32)} \]
   Перемножим крест-накрест:
   \[ 2 \times 48(v_1 + 32) = v_1(v_1 + 80) \]
   \[ 96(v_1 + 32) = v_1^2 + 80v_1 \]
   \[ 96v_1 + 3072 = v_1^2 + 80v_1 \]
   Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \[ v_1^2 + 80v_1 - 96v_1 - 3072 = 0 \]
   \[ v_1^2 - 16v_1 - 3072 = 0 \]
6. Решаем квадратное уравнение:
   Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a=1$$, $$b=-16$$, $$c=-3072$$.
   \[ D = (-16)^2 - 4(1)(-3072) \]
   \[ D = 256 + 12288 \]
   \[ D = 12544 \]
   Найдем корень из дискриминанта: $$\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$$.
   Теперь найдем корни $$v_1$$:
   \[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
   \[ v_1 = \frac{16 \pm 112}{2} \]
   У нас два возможных значения для $$v_1$$:
   \[ v_{1,1} = \frac{16 + 112}{2} = \frac{128}{2} = 64 \]
   \[ v_{1,2} = \frac{16 - 112}{2} = \frac{-96}{2} = -48 \]
7. Выбираем правильный ответ:
   Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v_1 = -48$$ км/ч нам не подходит.
   Следовательно, скорость первого автомобиля $$v_1 = 64$$ км/ч.

Ответ: 64 км/ч