15. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 142°, угла CAD равен 88°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это значит, что сумма противоположных углов равна 180°.

\( \angle ABC + \angle ADC = 180° \)

\( 142° + \angle ADC = 180° \)

\( \angle ADC = 180° - 142° = 38° \)

Угол ADC состоит из углов ADB и BDC:

\( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 38° \)

Также, углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Угол ABD опирается на дугу AD. Угол ACD опирается на дугу AD. Значит, \( \angle ABD = \angle ACD \).

Угол CAD опирается на дугу CD. Угол CBD опирается на дугу CD. Значит, \( \angle CAD = \angle CBD = 88° \).

Угол ABD опирается на дугу AD. Угол ACD опирается на дугу AD. Значит, \( \angle ABD = \angle ACD \).

Угол CAD равен 88°, значит, \( \angle CBD = 88° \).

Рассмотрим угол ADC = 38°.

\( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 38° \).

Угол BDC опирается на дугу BC. Угол BAC опирается на дугу BC. Значит, \( \angle BDC = \angle BAC \).

Угол ABC = 142°. Угол ABC состоит из углов ABD и CBD:

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \)

\( 142° = \angle ABD + 88° \)

\( \angle ABD = 142° - 88° = 54° \)

Ответ: 54