15. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

Обозначим:

• \( A \) — событие, что яйцо оказалось высшей категории.
• \( H_1 \) — событие, что яйцо из первого хозяйства.
• \( H_2 \) — событие, что яйцо из второго хозяйства.

По условию задачи имеем:

• \( P(A|H_1) = 0.40 \) (вероятность яйца высшей категории из первого хозяйства)
• \( P(A|H_2) = 0.20 \) (вероятность яйца высшей категории из второго хозяйства)
• \( P(A) = 0.35 \) (общая вероятность яйца высшей категории)

Нам нужно найти \( P(H_1|A) \) — вероятность того, что яйцо из первого хозяйства, при условии, что оно высшей категории.

По формуле Байеса:

\[ P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1) P(H_1)}{P(A)} \]

Мы знаем \( P(A|H_1) \) и \( P(A) \). Нам нужно найти \( P(H_1) \) и \( P(H_2) \).

Используем формулу полной вероятности для \( P(A) \):

\[ P(A) = P(A|H_1) P(H_1) + P(A|H_2) P(H_2) \]

Так как яйца закупаются только из двух хозяйств, то \( P(H_1) + P(H_2) = 1 \). Пусть \( P(H_1) = x \), тогда \( P(H_2) = 1 - x \).

Подставим в формулу полной вероятности:

\[ 0.35 = 0.40 \cdot x + 0.20 \cdot (1 - x) \]

Решим это уравнение относительно \( x \):

\[ 0.35 = 0.40x + 0.20 - 0.20x \]

\( 0.35 - 0.20 = 0.40x - 0.20x \)

\[ 0.15 = 0.20x \]

\( x = \frac{0.15}{0.20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0.75 \)

Таким образом, \( P(H_1) = 0.75 \) и \( P(H_2) = 1 - 0.75 = 0.25 \).

Теперь можем найти \( P(H_1|A) \) по формуле Байеса:

\[ P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1) P(H_1)}{P(A)} = \frac{0.40 \cdot 0.75}{0.35} = \frac{0.30}{0.35} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7} \]

Ответ: \( \frac{6}{7} \).