15. (3 балла) Решите уравнение \( \sqrt[5]{x^2-14x}=2 \)

Решение:

Чтобы избавиться от пятой степени корня, возведем обе части уравнения в пятую степень:

\[ (\sqrt[5]{x^2-14x})^5 = 2^5 \]\[ x^2 - 14x = 32 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 14x - 32 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(-32) = 196 + 128 = 324 \]

Так как \( D > 0 \), у уравнения два корня.

Найдем корни по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{324}}{2(1)} = \frac{14 \pm 18}{2} \]

\( x_1 = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)

\( x_2 = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Ответ: \( x = 16, x = -2 \).