149. На рисунке точка D — середина стороны BC треугольника ABC, DP ⊥ AB, DF ⊥ AC, DP = DF. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Доказательство. \(\triangle BPD = \triangle CFD\) по ______, следовательно, \(\angle B = \angle ______, и поэтому треугольник ABC ______.

Краткое пояснение:

Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нам нужно показать, что два его угла равны. Для этого мы сначала докажем равенство треугольников \(\triangle BPD\) и \(\triangle CFD\), а затем используем это для вывода равенства углов B и C.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольники \(\triangle BPD\) и \(\triangle CFD\).
2. Шаг 2: По условию \(DP ⊥ AB\) и \(DF ⊥ AC\), значит, \(\angle BPD = 90^°\) и \(\angle CFD = 90^°\).
3. Шаг 3: Нам дано, что \(DP = DF\).
4. Шаг 4: Точка D — середина стороны BC, следовательно, \(BD = CD\).
5. Шаг 5: Таким образом, \(\triangle BPD = \triangle CFD\) по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (по гипотенузе BD=CD и катету DP=DF).
6. Шаг 6: Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, то есть \(\angle B = \angle C\).
7. Шаг 7: Поскольку \(\angle B = \angle C\), то треугольник ABC является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника: если два угла треугольника равны, то он равнобедренный).

Ответ: \(\triangle BPD = \triangle CFD\) по гипотенузе и катету, следовательно, \(\angle B = \angle C\), и поэтому треугольник ABC равнобедренный.