148. На рисунке MB ⊥ AB, MC ⊥ AC, MB = MC. Докажите, что луч AM — биссектриса угла A. Доказательство. ΔABM = ΔACM по _______. Из равенства этих треугольников следует, что ∠1 = ∠2, т.е. луч AM ______ угла A.

Решение:

1. Доказательство равенства треугольников:
   Рассмотрим треугольники ΔABM и ΔACM.
   • MB = MC (по условию).
   • AM — общая сторона (по условию).
   • ∠AMB = ∠AMC (так как MB ⊥ AB и MC ⊥ AC, то есть эти углы равны 90°, и AM является биссектрисой, что будет доказано).
   По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (хотя в данном случае это гипотенуза и катет, но признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам тоже применим, если мы докажем, что AM делит угол A пополам. Однако, исходя из данных, более подходящим будет признак равенства по гипотенузе и катету, если мы предположим, что AM является гипотенузой, а MB и MC — катетами. Более строго, мы используем признак равенства по двум сторонам и углу между ними, если докажем равенство углов ∠BAM = ∠CAM. Вернемся к тому, что нам дано: MB ⊥ AB, MC ⊥ AC, MB = MC.
2. Рассмотрим треугольники ΔABM и ΔACM:
   • MB = MC (по условию).
   • ∠AMB = ∠AMC (так как MB ⊥ AB и MC ⊥ AC, то есть треугольники ABM и ACM являются прямоугольными, если AM является гипотенузой. Однако, если AM - биссектриса, то она делит угол A.
   • Используем признак равенства по двум сторонам и углу между ними, или признак равенства прямоугольных треугольников.
   • Правильный подход: Рассматриваем треугольники ΔABM и ΔACM.
     • MB = MC (по условию).
     • ∠MBA = ∠MCA = 90° (так как MB ⊥ AB и MC ⊥ AC).
     • AM — общая гипотенуза.
     По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, ΔABM = ΔACM.
3. Вывод из равенства треугольников:
   Из равенства треугольников ΔABM = ΔACM следует, что соответствующие углы равны. Следовательно, ∠BAM = ∠CAM.
4. Заключение:
   Так как ∠BAM = ∠CAM, то луч AM является биссектрисой угла A.

Заполнение пропусков:

• ΔABM = ΔACM по гипотенузе и катету.
• Из равенства этих треугольников следует, что ∠1 = ∠2, т.е. луч AM биссектриса угла A.

Ответ: по гипотенузе и катету, биссектриса.