140. Найдите наибольший общий делитель чисел a и b: 1) a = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 19 и b = 2 · 3 · 3 · 7 · 11 · 13; 2) a = 2³ · 3² · 7³ · 11² · 19 и b = 2² · 3⁵ · 11² · 19³.

Решение:

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, нужно взять общие простые множители в наименьшей степени.

1)

Разложим числа на простые множители:

\( a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \)

\( b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \)

Общие простые множители: 2, 3, 7.

Наименьшая степень для 2: \( 2^1 \) (в числе b).

Наименьшая степень для 3: \( 3^1 \) (в числе a).

Наименьшая степень для 7: \( 7^1 \) (в обоих числах).

НОД(a, b) = \( 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 \).

2)

Разложим числа на простые множители:

\( a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 19 \)

\( b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 11^2 \cdot 19^3 \)

Общие простые множители: 2, 3, 11, 19.

Наименьшая степень для 2: \( 2^2 \) (в числе b).

Наименьшая степень для 3: \( 3^2 \) (в числе a).

Наименьшая степень для 11: \( 11^2 \) (в обоих числах).

Наименьшая степень для 19: \( 19^1 \) (в числе a).

НОД(a, b) = \( 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \cdot 19^1 = 4 \cdot 9 \cdot 121 \cdot 19 = 36 \cdot 121 \cdot 19 = 4356 \cdot 19 = 82764 \).

Ответ: 1) 42; 2) 82764.