14. Вычислить определенный интеграл: \(\int_2^3 (4x^3 - 3x^2 + 1x + 5) dx\).

Решение:

Найдем первообразную для подынтегральной функции \( 4x^3 - 3x^2 + x + 5 \).

Первообразная равна \( \frac{4x^4}{4} - \frac{3x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 5x = x^4 - x^3 + \frac{x^2}{2} + 5x \).

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная.

\( \left[ x^4 - x^3 + \frac{x^2}{2} + 5x \right]_2^3 \)

Подставим верхний предел (3):

\( (3)^4 - (3)^3 + \frac{(3)^2}{2} + 5(3) = 81 - 27 + \frac{9}{2} + 15 = 69 + 4.5 = 73.5 \)

Подставим нижний предел (2):

\( (2)^4 - (2)^3 + \frac{(2)^2}{2} + 5(2) = 16 - 8 + \frac{4}{2} + 10 = 8 + 2 + 10 = 20 \)

Вычтем значение при нижнем пределе из значения при верхнем пределе:

\( 73.5 - 20 = 53.5 \)

Ответ: 53.5.