14. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите меньший угол между ними.

Ответ: 60°

Обоснование:

1. Равносторонний треугольник: Все стороны равны, и все углы равны 60°.
2. Медианы в равностороннем треугольнике: Медианы в равностороннем треугольнике являются также биссектрисами и высотами.
3. Точка пересечения медиан: Медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
4. Углы, образованные медианами: В равностороннем треугольнике медианы разбивают его на 6 равных (по площади) треугольников.
5. Углы при точке пересечения: Медианы в равностороннем треугольнике перпендикулярны сторонам, к которым они проведены.
6. Рассмотрим два медианы, проведенные из вершин A и B к серединам сторон BC и AC соответственно. Пусть точка их пересечения — O.
7. Рассмотрим треугольник AOB. Угол OAB = 30° (так как медиана AM — биссектриса угла A=60°). Угол OBA = 30° (так как медиана BN — биссектриса угла B=60°).
8. Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°. Угол AOB = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.
9. Углы, образованные пересечением двух медиан, составляют 120° и 60°.
10. Меньший угол между двумя медианами равностороннего треугольника равен 60°.