14. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Период полураспада изотопа составляет 8 минут. Начальная масса изотопа — 200 мг. Необходимо найти массу через 32 минуты.

1. Определим, сколько периодов полураспада укладывается в 32 минуты: \( 32 \text{ мин} \div 8 \text{ мин/период} = 4 \text{ периода} \).
2. Рассчитаем массу изотопа после каждого периода полураспада:
   • Через 8 минут: \( 200 \text{ мг} \div 2 = 100 \text{ мг} \).
   • Через 16 минут: \( 100 \text{ мг} \div 2 = 50 \text{ мг} \).
   • Через 24 минуты: \( 50 \text{ мг} \div 2 = 25 \text{ мг} \).
   • Через 32 минуты: \( 25 \text{ мг} \div 2 = 12.5 \text{ мг} \).
3. Альтернативно, можно использовать формулу: \( m(t) = m_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \), где \( m(t) \) — масса через время \( t \), \( m_0 \) — начальная масса, \( t \) — прошедшее время, \( T \) — период полураспада.
4. Подставим значения: \( m(32) = 200 \text{ мг} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{32}{8}} = 200 \text{ мг} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 200 \text{ мг} \cdot \frac{1}{16} = \frac{200}{16} \text{ мг} = 12.5 \text{ мг} \).

Ответ: 12.5 миллиграмм.