14. В амфитеатре 20 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 36 мест, а в одиннадцатом ряду 52 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где количество мест в каждом ряду увеличивается на одно и то же число. Обозначим количество мест в ряду как \( a_n \), где \( n \) — номер ряда. Разность прогрессии — \( d \).

1. Из условия известно, что \( a_7 = 36 \) и \( a_{11} = 52 \).
2. Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
3. Используем данные условия для составления системы уравнений:
   \( a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d = 36 \)
   \( a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d = 52 \)
4. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти \( d \):
   \( (a_1 + 10d) - (a_1 + 6d) = 52 - 36 \)
   \( 4d = 16 \)
   \( d = 4 \)
5. Теперь найдём \( a_1 \), подставив \( d=4 \) в первое уравнение:
   \( a_1 + 6 · 4 = 36 \)
   \( a_1 + 24 = 36 \)
   \( a_1 = 36 - 24 = 12 \)
6. Найдём количество мест в последнем, 20-м ряду, используя формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \):
   \( a_{20} = 12 + (20-1) · 4 \)
   \( a_{20} = 12 + 19 · 4 \)
   \( a_{20} = 12 + 76 \)
   \( a_{20} = 88 \)

Ответ: 88 мест.