14. Расшифруйте пример на сложение: ААБ + АБА + БАА=БВВБ. Объясните, как Вы рассуждали.

Решение:

Запишем пример в столбик, обозначая буквы цифрами:

А А Б

А Б А

+ Б А А

-------

Б В В Б

1. Рассмотрим разряд единиц: Б + А + А = Б (или 10+Б). Это значит, что 2А должно оканчиваться на 0. Единственная цифра, при умножении на 2 дающая 0 — это 5. Значит, А = 5.

2. Теперь пример выглядит так: 55Б + 5Б5 + Б55 = БВВБ.

3. Рассмотрим разряд десятков: Б + Б + 5 = В (или 10+В). Мы знаем, что в разряде единиц произошло сложение 2*5=10, поэтому 1 переходит в разряд десятков. Значит, Б + Б + 5 + 1 = В (или 10+В).

4. Рассмотрим разряд сотен: 5 + 5 + Б + (перенос из десятков) = Б (или 10+Б).

5. У нас есть две неизвестные: Б и В. Попробуем подставить значения для Б.

- Если Б = 1, то в разряде десятков: 1 + 1 + 5 + 1 = 8. Значит, В = 8. В разряде сотен: 5 + 5 + 1 + 1 (перенос из десятков) = 12. Получаем 1288. Число 1288 соответствует формату БВВБ (1881), но оно не совпадает с расчетом. Значит, Б ≠ 1.

- Если Б = 2, то в разряде десятков: 2 + 2 + 5 + 1 = 10. Значит, В = 0. В разряде сотен: 5 + 5 + 2 + 1 (перенос из десятков) = 13. Получаем 1302. Число 1302 соответствует формату БВВБ (2002), но оно не совпадает с расчетом. Значит, Б ≠ 2.

- Если Б = 3, то в разряде десятков: 3 + 3 + 5 + 1 = 12. Значит, В = 2. В разряде сотен: 5 + 5 + 3 + 1 (перенос из десятков) = 14. Получаем 1423. Число 1423 соответствует формату БВВБ (3223), но оно не совпадает с расчетом. Значит, Б ≠ 3.

- Если Б = 4, то в разряде десятков: 4 + 4 + 5 + 1 = 14. Значит, В = 4. В разряде сотен: 5 + 5 + 4 + 1 (перенос из десятков) = 15. Получаем 1544. Число 1544 соответствует формату БВВБ (4444), но оно не совпадает с расчетом. Значит, Б ≠ 4.

- Если Б = 5, то А = Б, что недопустимо. Значит, Б ≠ 5.

- Если Б = 6, то в разряде десятков: 6 + 6 + 5 + 1 = 18. Значит, В = 8. В разряде сотен: 5 + 5 + 6 + 1 (перенос из десятков) = 17. Получаем 1786. Число 1786 соответствует формату БВВБ (6886), но оно не совпадает с расчетом. Значит, Б ≠ 6.

- Если Б = 7, то в разряде десятков: 7 + 7 + 5 + 1 = 20. Значит, В = 0. В разряде сотен: 5 + 5 + 7 + 2 (перенос из десятков) = 19. Получаем 1907. Число 1907 соответствует формату БВВБ (7007), но оно не совпадает с расчетом. Значит, Б ≠ 7.

- Если Б = 8, то в разряде десятков: 8 + 8 + 5 + 1 = 22. Значит, В = 2. В разряде сотен: 5 + 5 + 8 + 2 (перенос из десятков) = 20. Получаем 2028. Число 2028 соответствует формату БВВБ (8228), но оно не совпадает с расчетом. Значит, Б ≠ 8.

- Если Б = 9, то в разряде десятков: 9 + 9 + 5 + 1 = 24. Значит, В = 4. В разряде сотен: 5 + 5 + 9 + 2 (перенос из десятков) = 21. Получаем 2149. Число 2149 соответствует формату БВВБ (9449), но оно не совпадает с расчетом. Значит, Б ≠ 9.

Попробуем другой подход.

1. Опять же, 2А оканчивается на 0, значит, А = 5.

2. Теперь пример: 55Б + 5Б5 + Б55 = БВВБ.

3. Посмотрим на крайний левый разряд (тысячи): 5 + 5 + Б + (перенос из сотен) = Б. Это означает, что сумма 5+5+(перенос из сотен) должна быть равна 0 по последней цифре, и при этом перенос из тысяч должен быть равен Б. Единственный случай, когда перенос из сотен может быть больше 2 (5+5+Б). Если Б=1, 5+5+1 = 11, перенос 1. 5+5+1+1=12. Получаем 1288, Б=1, В=8. Но это 1288, а результат должен начинаться на Б. Это не подходит.

4. Рассмотрим случай, когда в разряде десятков 2Б + 5 + 1 = В или 10+В. Если 2Б+6 = В, значит Б должно быть маленьким. Если 2Б+6=10+В, значит 2Б-В=4.

5. Рассмотрим случай, когда в разряде сотен 5+5+Б+1 = Б (перенос из десятков). Если перенос из десятков равен 0, то 10+Б = Б, что невозможно. Если перенос из десятков равен 1, то 10+Б+1 = Б, невозможно. Если перенос из десятков равен 2, то 10+Б+2=Б, невозможно.

6. Значит, в разряде сотен 5+5+Б+1 = 10+В, а перенос в тысячи равен Б.

10 + Б + (перенос из десятков) = 10 + В.

5 + 5 + Б + (перенос из десятков) = 10 + В.

10 + Б + (перенос из десятков) = 10 + В.

Получаем, что Б + (перенос из десятков) = В.

Посмотрим на разряд десятков: 2Б + 5 + 1 = 10 + В.

2Б + 6 = 10 + В.

2Б - В = 4.

Мы знаем, что А=5.

Теперь подставим возможные значения Б (от 0 до 9, Б≠5).

- Если Б = 2, то 2*2 - В = 4 → 4 - В = 4 → В = 0. В разряде сотен: 5 + 5 + 2 + 1 (перенос из десятков) = 13. В = 0, значит перенос из десятков равен 1. 5 + 5 + 2 + 1 = 13. Получаем 1302. Но у нас должно быть БВВБ, то есть 2002. Не подходит.

- Если Б = 3, то 2*3 - В = 4 → 6 - В = 4 → В = 2. В разряде десятков: 2*3 + 6 = 12. Значит, перенос из десятков равен 1, а В = 2. В разряде сотен: 5 + 5 + 3 + 1 (перенос из десятков) = 14. Это должно быть 10+В. Значит 14 = 10 + 2 = 12. Не подходит. Должно быть 14 = 10+В, откуда В=4. Но мы получили В=2. Значит, Б ≠ 3.

- Если Б = 4, то 2*4 - В = 4 → 8 - В = 4 → В = 4. Но А=5, Б=4, В=4. Нельзя, чтобы две разные буквы обозначали одну цифру. Значит, Б ≠ 4.

- Если Б = 6, то 2*6 - В = 4 → 12 - В = 4 → В = 8. В разряде десятков: 2*6 + 6 = 18. Значит, перенос из десятков равен 1, а В = 8. В разряде сотен: 5 + 5 + 6 + 1 (перенос из десятков) = 17. Это должно быть 10+В. Значит 17 = 10 + 8 = 18. Не подходит.

- Если Б = 7, то 2*7 - В = 4 → 14 - В = 4 → В = 10. Невозможно.

- Если Б = 9, то 2*9 - В = 4 → 18 - В = 4 → В = 14. Невозможно.

- Если Б = 0, то 2*0 - В = 4 → -В = 4 → В = -4. Невозможно.

- Если Б = 1, то 2*1 - В = 4 → 2 - В = 4 → В = -2. Невозможно.

- Если Б = 8, то 2*8 - В = 4 → 16 - В = 4 → В = 12. Невозможно.

- Если Б = 3, то 2*3 - В = 4 → 6 - В = 4 → В = 2. Проверим: А=5, Б=3, В=2.

553 + 535 + 355 = 1443.

Результат должен быть БВВБ, то есть 3223. Не подходит.

- Вернемся к разряду десятков: Б + Б + 5 = В (с переносом 1 из единиц). Получаем: 2Б + 5 + 1 = 10 + В (если В < 10). Значит, 2Б + 6 = 10 + В. Или 2Б - В = 4.

- Разряд сотен: 5 + 5 + Б + 1 (перенос из десятков) = Б (в разряде тысяч).

10 + Б + 1 (перенос из десятков) = 10 + В.

11 + Б = 10 + В.

В - Б = 1.

- У нас система из двух уравнений:

1) 2Б - В = 4

2) В - Б = 1

- Из второго уравнения: В = Б + 1.

- Подставим в первое: 2Б - (Б + 1) = 4.

- 2Б - Б - 1 = 4.

- Б - 1 = 4.

- Б = 5. Но А=5. Это невозможно.

- Проверим случай, когда 2А = 10+Б. Тогда А=5. 10+Б=10. Б=0.

Если А=5, Б=0, то:

550 + 505 + 055 = 1110.

Результат БВВБ = 0ВВ0. Не подходит.

- Итак, 2А = 10 (из-за переноса 1 в десятки). А = 5.

- Разряд десятков: Б + Б + 5 = В (с переносом 1 из единиц). 2Б + 5 + 1 = 10 + В (или 20+В, 30+В...).

2Б + 6 = 10 + В.

- Разряд сотен: 5 + 5 + Б + 1 (перенос из десятков) = Б (в тысячах).

10 + Б + 1 = 10 + В.

11 + Б = 10 + В.

В - Б = 1.

- Подставим В = Б + 1 в первое уравнение: 2Б + 6 = 10 + (Б + 1).

2Б + 6 = 11 + Б.

2Б - Б = 11 - 6.

Б = 5. Но А = 5. Невозможно.

- Возможно, в разряде единиц перенос был 0? Тогда 2А = Б. Но если А - первая цифра, А≠0. Если Б - первая цифра, Б≠0.

- Предположим, что 2А=0. Тогда А=0. Но А - первая цифра. Невозможно.

- Опять 2А = 10. А=5.

- Разряд десятков: Б+Б+5 + 1 (перенос из единиц) = В. 2Б+6 = В. (Если нет переноса в сотни).

- Разряд сотен: 5+5+Б + 0 (перенос из десятков) = Б (в тысячах). 10+Б = Б. Невозможно.

- Значит, в разряде десятков был перенос в сотни. 2Б+6 = 10+В.

- Разряд сотен: 5+5+Б + 1 (перенос из десятков) = 10+Б (перенос в тысячи).

11+Б = 10+Б.

11 = 10. Невозможно.

- Это означает, что в разряде сотен произошло удвоение Б (то есть Б=9), и перенос в тысячи составил 1.

- Давайте попробуем А = 5, Б = 9.

559 + 595 + 955 = 2109. Результат БВВБ = 9ВВ9. Не подходит.

- Вернемся к: 2Б - В = 4 и В - Б = 1. Если Б=5, В=6. А=5. Не подходит.

- Попробуем найти ошибку в рассуждении.

- Единицы: Б + А + А = Б (или 10+Б). Значит, 2А = 10. А = 5.

- Десятки: А + Б + А + 1 = В (или 10+В). 5 + Б + 5 + 1 = 10 + В. 11 + Б = 10 + В. В - Б = 1.

- Сотни: А + А + Б + 1 (перенос из десятков) = Б (в тысячах). 5 + 5 + Б + 1 = 10 + Б (если есть перенос в тысячи).

11 + Б = 10 + Б.

11 = 10. Это противоречие. Значит, в разряде сотен нет переноса в тысячи, а результат в тысячах - это перенос из сотен.

- Опять: 2А = 10. А=5.

- Десятки: 5 + Б + 5 + 1 (перенос из единиц) = 10 + В.

11 + Б = 10 + В.

В - Б = 1.

- Сотни: 5 + 5 + Б + 1 (перенос из десятков) = Б (в тысячах).

11 + Б = Б.

11 = 0. Опять противоречие. Перенос из десятков не может быть 1.

- Давайте пересмотрим разряд сотен. 5 + 5 + Б + (перенос из десятков) = результат в тысячах.

- А=5. Б=9. В=0. (Мы предположили, что В=0).

559 + 595 + 955 = 2109. Результат БВВБ = 9009. Не подходит.

- А=5. Б=8. В=7. (2Б-В=4. 16-7=9 !=4. В-Б=1. 7-8=-1!=1)

- А=5. Б=7. В=8. (2Б-В=4. 14-8=6!=4. В-Б=1. 8-7=1. Подходит!)

Проверим: А=5, Б=7, В=8.

557 + 575 + 755 = 1887.

Результат должен быть БВВБ = 7887. Не совпадает.

- А=5. Б=6. В=7. (2Б-В=4. 12-7=5!=4. В-Б=1. 7-6=1. Подходит!)

Проверим: А=5, Б=6, В=7.

556 + 565 + 655 = 1776.

Результат должен быть БВВБ = 6776. Не совпадает.

- А=5. Б=4. В=5. (2Б-В=4. 8-5=3!=4. В-Б=1. 5-4=1. Подходит!)

Проверим: А=5, Б=4, В=5. Нельзя, В=А.

- А=5. Б=3. В=4. (2Б-В=4. 6-4=2!=4. В-Б=1. 4-3=1. Подходит!)

Проверим: А=5, Б=3, В=4.

553 + 535 + 355 = 1443.

Результат должен быть БВВБ = 3443. Не совпадает.

- А=5. Б=2. В=3. (2Б-В=4. 4-3=1!=4. В-Б=1. 3-2=1. Подходит!)

Проверим: А=5, Б=2, В=3.

552 + 525 + 255 = 1332.

Результат должен быть БВВБ = 2332. Не совпадает.

- А=5. Б=1. В=2. (2Б-В=4. 2-2=0!=4. В-Б=1. 2-1=1. Подходит!)

Проверим: А=5, Б=1, В=2.

551 + 515 + 155 = 1221.

Результат должен быть БВВБ = 1221. Совпадает!

- Итак, А = 5, Б = 1, В = 2.

- Проверим:

551

515

+ 155

-----

1221

- Единицы: 1 + 5 + 5 = 11. Пишем 1, 1 в уме (перенос в десятки). Б=1.

- Десятки: 5 + 1 + 5 + 1 (перенос) = 12. Пишем 2, 1 в уме (перенос в сотни). В=2.

- Сотни: 5 + 5 + 1 + 1 (перенос) = 12. Пишем 2, 1 в уме (перенос в тысячи). В=2.

- Тысячи: 1 (перенос). Б=1.

- Получаем 1221. Формат БВВБ = 1221. Все совпадает.

Ответ: А = 5, Б = 1, В = 2. Пример: 551 + 515 + 155 = 1221.