14. Постройте график функции y = {3x - 3, x < 2; -3x + 8.5, 2 ≤ x ≤ 3; 3.5x - 11, x > 3}. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Пояснение:

Для решения этой задачи нам нужно построить график кусочно-заданной функции и затем определить, при каких значениях y = m (горизонтальная линия) она будет пересекать график ровно два раза.

График функции:

Разберем каждую часть функции:

• 1. y = 3x - 3, при x < 2
  Это линейная функция. При x = 2, y = 3(2) - 3 = 3. Точка (2, 3) не включается в график (пустой кружок). При x = 0, y = -3. Точка (0, -3).
• 2. y = -3x + 8.5, при 2 ≤ x ≤ 3
  Это тоже линейная функция.
  При x = 2, y = -3(2) + 8.5 = -6 + 8.5 = 2.5. Точка (2, 2.5) включается в график (закрашенный кружок).
  При x = 3, y = -3(3) + 8.5 = -9 + 8.5 = -0.5. Точка (3, -0.5) включается в график (закрашенный кружок).
• 3. y = 3.5x - 11, при x > 3
  Это линейная функция.
  При x = 3, y = 3.5(3) - 11 = 10.5 - 11 = -0.5. Точка (3, -0.5) не включается в график (пустой кружок).

Построим эти три участка на координатной плоскости.

Определение значений m:

Прямая y = m является горизонтальной линией. Чтобы эта линия пересекала график ровно два раза, она должна находиться в следующих интервалах:

• Между вершинами (пиками) функции, если они есть.
• На уровне значений, где функция меняет свое направление, но не на самих конечных точках участков, если эти точки не являются экстремумами.

Рассмотрим значения функции на границах интервалов:

• При x = 2:
• Левая часть (x < 2): y стремится к 3(2) - 3 = 3.
• Средняя часть (2 ≤ x ≤ 3): y = -3(2) + 8.5 = 2.5.
• При x = 3:
• Средняя часть (2 ≤ x ≤ 3): y = -3(3) + 8.5 = -0.5.
• Правая часть (x > 3): y стремится к 3.5(3) - 11 = -0.5.

График состоит из трех линейных участков. Верхняя точка первого участка (не включая x=2) находится близко к y=3. Нижняя точка второго участка находится в y=-0.5 при x=3, и этот же y=-0.5 является начальным значением для третьего участка (не включая x=3).

Горизонтальная прямая y = m будет иметь ровно две точки пересечения, если:

• m находится между максимальным значением первого участка (не включая 3) и минимальным значением второго участка (2.5), то есть 2.5 < m < 3.
• m находится ниже минимального значения второго участка (-0.5) и пересекает как второй, так и третий участок. Поскольку второй участок заканчивается на y = -0.5, а третий начинается оттуда же (и идет вниз), нам нужно рассмотреть случаи, когда y=m пересекает только второй и третий участки.

Более детально:

• Если m = 2.5, прямая пересечет средний участок в точке (2, 2.5) и первый участок (если бы он продолжался до x=2.5, y = 3(2.5)-3 = 4.5, но он заканчивается у x=2). Если мы рассматриваем только построенный график, то y=2.5 пересечет средний участок и будет близко к концу первого участка.
• Если m = -0.5, прямая будет проходить через конечную точку среднего участка (3, -0.5) и начало третьего участка (3, -0.5). Это одна точка.

Чтобы получить ровно две точки пересечения:

1. Прямая должна быть между y=2.5 (начало среднего участка) и y=3 (предельное значение первого участка). В этом случае 2.5 < m < 3.
2. Прямая должна быть ниже y=-0.5 (конечная точка среднего участка и начальная точка третьего участка), чтобы пересечь оба участка. Например, если m = -1, она пересечет средний участок и третий участок.

Значения m, при которых прямая y=m имеет ровно две общие точки с графиком:

• m находится в интервале (2.5, 3).
• m находится в интервале (-∞, -0.5).

Финальный ответ: Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m ∈ (-∞, -0.5) ∪ (2.5, 3).