14. Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции: y = x³-6x²+x

Краткое пояснение:

Для определения интервалов выпуклости и точек перегиба функции, необходимо найти вторую производную функции и исследовать её знак.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим первую производную функции.
   Дана функция: \( y = x^{3} - 6x^{2} + x \)
   Первая производная: \( y' = \frac{d}{dx}(x^{3} - 6x^{2} + x) = 3x^{2} - 12x + 1 \)
2. Шаг 2: Находим вторую производную функции.
   Вторая производная: \( y'' = \frac{d}{dx}(3x^{2} - 12x + 1) = 6x - 12 \)
3. Шаг 3: Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
   Приравниваем вторую производную к нулю: \( 6x - 12 = 0 \)
   \( 6x = 12 \)
   \( x = 2 \)
4. Шаг 4: Исследуем знак второй производной на интервалах, полученных разбиением числовой оси.
   Интервалы: \( (-\infty, 2) \) и \( (2, +\infty) \)
   Возьмем точку из \( (-\infty, 2) \), например, \( x = 0 \): \( y''(0) = 6(0) - 12 = -12 < 0 \). На этом интервале функция вогнута (выпукла вверх).
   Возьмем точку из \( (2, +\infty) \), например, \( x = 3 \): \( y''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 \). На этом интервале функция выпукла (вогнута вниз).
5. Шаг 5: Определяем точки перегиба.
   Точка перегиба находится при \( x = 2 \), так как вторая производная меняет знак. Найдем значение \( y \) в этой точке:
   \( y(2) = (2)^{3} - 6(2)^{2} + 2 = 8 - 6(4) + 2 = 8 - 24 + 2 = -14 \).
   Точка перегиба: \( (2, -14) \).

Ответ:

• Интервалы выпуклости (выпуклости вверх): \( (-\infty, 2) \).
• Интервалы вогнутости (выпуклости вниз): \( (2, +\infty) \).
• Точка перегиба: \( (2, -14) \).