14. Миша решил заниматься спортом и начал отжиматься каждое утро. В первое утро он сделал 10 отжиманий, а каждое следующее утро он делал на одно и то же количество отжиманий больше, чем в предыдущее утро. За первые 12 дней он сделал всего 384 отжимания. Сколько отжиманий сделал Миша в седьмой день?

Решение:

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где:

• Первый член прогрессии (количество отжиманий в первый день), \(a_1 = 10\) отжиманий.
• Количество дней, \(n = 12\).
• Сумма отжиманий за 12 дней, \(S_{12} = 384\) отжиманий.
• Разность прогрессии, \(d\) — это то, на сколько отжиманий больше делалось каждое следующее утро (неизвестна).

Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \]

Подставим известные значения:

\[ 384 = \frac{12}{2}(2 \cdot 10 + (12-1)d) \]

Упростим уравнение:

\[ 384 = 6(20 + 11d) \]

Разделим обе части на 6:

\[ \frac{384}{6} = 20 + 11d \]

\(64 = 20 + 11d\)

Найдем \(d\):

\[ 11d = 64 - 20 \]

\(11d = 44\)

\[ d = \frac{44}{11} \]

\(d = 4\)

Теперь, когда мы знаем разность прогрессии \(d = 4\), мы можем найти количество отжиманий в седьмой день. Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Для седьмого дня \(n = 7\):

\[ a_7 = 10 + (7-1) \cdot 4 \]

\(a_7 = 10 + 6 \cdot 4\)

\[ a_7 = 10 + 24 \]

\(a_7 = 34\)

Итак, Миша сделал 34 отжимания в седьмой день.

Ответ: 34 отжимания.