14. Маше надо подписать 315 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Маша подписала 7 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за шестой день, если вся работа была выполнена за 15 дней.

Решение:

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где каждый член больше предыдущего на одно и то же число.

1. Определим данные:
   • Общее количество открыток \(S_{15} = 315\).
   • Количество открыток в первый день \(a_1 = 7\).
   • Количество дней \(n = 15\).
   • Разность прогрессии \(d\) — неизвестна.
   • Требуется найти количество открыток в шестой день \(a_6\).
2. Найдем разность прогрессии \(d\), используя формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} n\).
3. Подставим известные значения:

\[ 315 = \frac{2 \cdot 7 + (15-1)d}{2} \cdot 15 \]

\[ 315 = \frac{14 + 14d}{2} \cdot 15 \]

\[ 315 = (7 + 7d) \cdot 15 \]

Разделим обе стороны на 15:

\[ \frac{315}{15} = 7 + 7d \]

\[ 21 = 7 + 7d \]

\[ 21 - 7 = 7d \]

\[ 14 = 7d \]

\[ d = \frac{14}{7} = 2 \]

Таким образом, каждый день Маша подписывала на 2 открытки больше, чем в предыдущий.

4. Найдем количество открыток, подписанных в шестой день (\(a_6\)), используя формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
5. Подставим значения:

\[ a_6 = 7 + (6-1) \cdot 2 \]

\[ a_6 = 7 + 5 \cdot 2 \]

\[ a_6 = 7 + 10 \]

\[ a_6 = 17 \]

Ответ: За шестой день было подписано 17 открыток.