13. В треугольнике АВС АС = BC = 4√15, sin BAC = 0,25. Найдите высоту АН.

Решение:

Треугольник ABC — равнобедренный, так как AC = BC. AH — высота, проведенная к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, H — середина AB, и \( \angle CAH = \angle BAH \). Также \( \angle AHB = 90^.\)

В прямоугольном треугольнике ABH:

\( "sin\ B = \frac{AH}{AC} \)

В прямоугольном треугольнике ACH:

\( AH = AC \cdot \sin\ \angle CAH \)

Так как \( AC = BC \), то \( \angle ABC = \angle BAC \). Нам дано \( \sin\ \angle BAC = 0,25 \).

В равнобедренном треугольнике ABC, \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^. \)

\( 2\angle BAC + \angle ACB = 180^. \)

Мы знаем \( "sin\ \angle BAC = 0,25 \). Используем формулу площади треугольника:

\( S = \frac{1}{2} AC "\cdot\ BC "\cdot\ \sin\ \angle ACB \)

Также площадь треугольника можно найти как \( S = \frac{1}{2} AB "\cdot\ AH \).

Из \( \sin\ \angle BAC = 0,25 = \frac{1}{4} \), можем найти \( \cos\ \angle BAC = \sqrt{1 - \sin^2\ \angle BAC} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \).

В прямоугольном треугольнике ACH:

\( AH = AC "\cdot\ \sin\ \angle BAC = 4\sqrt{15} "\cdot\ \frac{1}{4} = \sqrt{15} \).

Проверка:

\( CH = AC "\cdot\ \cos\ \angle BAC = 4\sqrt{15} "\cdot\ \frac{\sqrt{15}}{4} = 15 \).

\( AB = 2 "\cdot\ CH = 2 "\cdot\ 15 = 30 \).

Площадь \( S = \frac{1}{2} AB "\cdot\ AH = \frac{1}{2} "\cdot\ 30 "\cdot\ \sqrt{15} = 15\sqrt{15} \).

Найдем \( \sin\ \angle ACB \).

\( \cos\ \angle ACB = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 "\cdot\ AC "\cdot\ BC} = \frac{(4\sqrt{15})^2 + (4\sqrt{15})^2 - 30^2}{2 "\cdot\ 4\sqrt{15} "\cdot\ 4\sqrt{15}} = \frac{16 "\cdot\ 15 + 16 "\cdot\ 15 - 900}{2 "\cdot\ 16 "\cdot\ 15} = \frac{240 + 240 - 900}{480} = \frac{480 - 900}{480} = \frac{-420}{480} = -\frac{7}{8} \).

\( \sin\ \angle ACB = \sqrt{1 - \cos^2\ \angle ACB} = \sqrt{1 - (-\frac{7}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8} \).

Площадь \( S = \frac{1}{2} AC "\cdot\ BC "\cdot\ \sin\ \angle ACB = \frac{1}{2} "\cdot\ (4\sqrt{15}) "\cdot\ (4\sqrt{15}) "\cdot\ \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{1}{2} "\cdot\ 16 "\cdot\ 15 "\cdot\ \frac{\sqrt{15}}{8} = 8 "\cdot\ 15 "\cdot\ \frac{\sqrt{15}}{8} = 15\sqrt{15} \).

Расчеты сходятся.

Ответ: AH = \(\sqrt{15}\).