13 В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 4, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 5√3. Найдите объём пирамиды SABC. Ответ:

Решение:

Для нахождения объёма пирамиды используем формулу: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

1. Находим площадь основания:
   Основание пирамиды — правильный треугольник ABC со стороной \( a = 4 \). Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
   \[ S_{осн} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \) (кв. ед.).
2. Определяем высоту пирамиды:
   По условию, боковое ребро SA перпендикулярно основанию. Это означает, что высота пирамиды \( h \) равна длине этого ребра.
   \[ h = SA = 5\sqrt{3} \) (ед.).
3. Вычисляем объём пирамиды:
   Подставляем найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма.
   \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} \]

Упрощаем выражение:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 5 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 3 = 20 \] (куб. ед.).

Ответ: 20.