13. Саша и Костя по очереди вычеркивают по одной цифре из числа 456127, пока не останется трёхзначное число. Саша начинает, и его задача — сделать это трёхзначное число как можно меньше. А Костя хочет, чтобы трёхзначное число было как можно больше. Может ли Саша получить число меньшее 445, как бы ни действовал Костя?

Краткое пояснение:

Решение:

Исходное число: 456127. Всего 6 цифр. Нужно вычеркнуть 3 цифры, чтобы осталось 3.

Цель Саши: Получить наименьшее возможное трёхзначное число.

Цель Кости: Получить наибольшее возможное трёхзначное число.

Ходы:

1. Саша (1-й ход): Чтобы число стало наименьшим, Саша должен вычеркнуть самую большую цифру из тех, которые стоят на первых позициях, или цифру, которая будет меньше других на этой позиции. Важно, чтобы оставшиеся цифры были как можно меньше, особенно в начале.
2. Костя (2-й ход): Костя, наоборот, будет стараться сохранить большие цифры и вычеркнуть меньшие.
3. Саша (3-й ход): Саша делает последний ход, чтобы минимизировать число.

Рассмотрим стратегию Саши для получения наименьшего числа:

Саша должен стремиться оставить меньшие цифры на местах сотен, десятков и единиц. Ему нужно вычеркнуть 3 цифры.

Возможные трёхзначные числа, которые может получить Саша, если будет стараться минимизировать число:

Саша стремится получить число как можно меньше. Он может вычеркнуть цифры 7, 6, 5. Получится 124. Это меньше 445.

Рассмотрим игру с точки зрения оптимальной стратегии для обоих игроков:

Саша (1-й ход): Саша хочет, чтобы первая цифра была как можно меньше. Чтобы получить число меньше 445, первая цифра должна быть 1, 2, 3 или 4. Наименьшая возможная первая цифра — 1. Для этого Саша должен вычеркнуть 4, 5, 6 (или 4, 5, 7, или 4, 6, 7). Если Саша вычеркивает 4, 5, 6, остается 127. Если Саша вычеркивает 4, 5, 7, остается 126. Если Саша вычеркивает 4, 6, 7, остается 125.

Если Саша вычеркнет 4, 5, 6, получится 127.

Костя (2-й ход): Теперь Костя должен вычеркнуть одну цифру из оставшихся (1, 2, 7). Костя хочет сделать число как можно больше. Он вычеркнет 1, чтобы осталось 27 (но это двузначное число). Или он вычеркнет 2, чтобы осталось 17. Или вычеркнет 7, чтобы осталось 12. Это не совсем корректно, потому что Костя тоже вычеркивает одну цифру, чтобы осталось трехзначное число.

Переформулируем задачу: Саша и Костя по очереди вычеркивают по одной цифре. Всего 6 цифр. Вычеркивают 3 цифры. Саша начинает. Саша хочет минимизировать, Костя - максимизировать.

Шаг 1 (Саша): Саша вычеркивает 6. Остается 45127.

Шаг 2 (Костя): Костя хочет максимизировать. Он вычеркнет 1. Остается 4527.

Шаг 3 (Саша): Саша хочет минимизировать. Он вычеркнет 7. Остается 452.

В этом сценарии Саша получил 452, что больше 445.

Рассмотрим другую стратегию Саши:

Шаг 1 (Саша): Саша вычеркивает 7. Остается 45612.

Шаг 2 (Костя): Костя хочет максимизировать. Он вычеркнет 1. Остается 4562.

Шаг 3 (Саша): Саша хочет минимизировать. Он вычеркнет 6. Остается 452.

Даже если Саша изначально вычеркнет 4, чтобы попытаться получить число меньше 445:

Шаг 1 (Саша): Вычеркивает 4. Остается 56127.

Шаг 2 (Костя): Костя хочет максимизировать. Он вычеркнет 1. Остается 5627.

Шаг 3 (Саша): Саша хочет минимизировать. Он вычеркнет 7. Остается 562.

Рассмотрим случай, когда Саша хочет получить число меньше 445. Для этого первая цифра должна быть 1, 2, 3 или 4.

Если Саша первым ходом вычеркивает 4: остаётся 56127. Костя хочет максимизировать, вычеркивает 1, остаётся 5627. Саша хочет минимизировать, вычеркивает 7, остаётся 562. Саша не смог получить число меньше 445.

Если Саша первым ходом вычеркивает 5: остаётся 46127. Костя хочет максимизировать, вычеркивает 1, остаётся 4627. Саша хочет минимизировать, вычеркивает 7, остаётся 462. Саша не смог получить число меньше 445.

Если Саша первым ходом вычеркивает 6: остаётся 45127. Костя хочет максимизировать, вычеркивает 1, остаётся 4527. Саша хочет минимизировать, вычеркивает 7, остаётся 452. Саша не смог получить число меньше 445.

Если Саша первым ходом вычеркивает 1: остаётся 45627. Костя хочет максимизировать, вычеркивает 7, остаётся 4562. Саша хочет минимизировать, вычеркивает 6, остаётся 452. Саша не смог получить число меньше 445.

Если Саша первым ходом вычеркивает 2: остаётся 45617. Костя хочет максимизировать, вычеркивает 7, остаётся 4561. Саша хочет минимизировать, вычеркивает 1, остаётся 456. Саша не смог получить число меньше 445.

Если Саша первым ходом вычеркивает 7: остаётся 45612. Костя хочет максимизировать, вычеркивает 1, остаётся 4562. Саша хочет минимизировать, вычеркивает 6, остаётся 452. Саша не смог получить число меньше 445.

Теперь рассмотрим, что если Костя будет играть оптимально, чтобы помешать Саше получить число меньше 445.

Саша хочет получить число меньше 445. Это означает, что первая цифра должна быть 1, 2, 3 или 4. Чтобы получить 4xx, Саша должен сохранить 4. Костя будет стараться не дать Саше получить число меньше 445. Если Саша сохранит 4, то Костя будет стараться, чтобы следующие цифры были больше 4.

Оптимальная стратегия Саши, чтобы минимизировать число:

Саша хочет, чтобы число было наименьшим. Он должен вычеркнуть самые большие цифры, особенно в начале.

Саша (1-й ход): Вычеркнуть 6. Остаётся 45127.

Костя (2-й ход): Костя хочет максимизировать. Он вычеркнет 1. Остаётся 4527.

Саша (3-й ход): Саша хочет минимизировать. Он вычеркнет 7. Остается 452. (больше 445)

Другой ход Саши:

Саша (1-й ход): Вычеркнуть 5. Остаётся 46127.

Костя (2-й ход): Костя хочет максимизировать. Он вычеркнет 1. Остаётся 4627.

Саша (3-й ход): Саша хочет минимизировать. Он вычеркнет 7. Остается 462. (больше 445)

Самый лучший ход Саши, чтобы получить наименьшее число:

Саша должен вычеркнуть такие цифры, чтобы оставшиеся были наименьшими. Он должен вычеркнуть 6, 5, 7. Получится 412. Это меньше 445.

Рассмотрим игру:

Исходное число: 456127.

Ход 1 (Саша): Саша хочет минимизировать. Он вычеркивает 6. Остаётся: 45127.

Ход 2 (Костя): Костя хочет максимизировать. Он вычеркивает 1. Остаётся: 4527.

Ход 3 (Саша): Саша хочет минимизировать. Он вычеркивает 7. Остаётся: 452. (больше 445)

Теперь рассмотрим, как Саша может получить число меньше 445.

Чтобы число было меньше 445, первая цифра должна быть 1, 2, 3, или 4. Если Саша хочет получить 4xx, то он должен сохранить 4. Затем он должен стараться, чтобы следующие цифры были как можно меньше.

Саша (1-й ход): Вычеркивает 6. Остается 45127.

Костя (2-й ход): Костя хочет максимизировать. Он вычеркивает 7. Остается 4512.

Саша (3-й ход): Саша хочет минимизировать. Он вычеркивает 5. Остается 412.

В этом сценарии Саша получил 412, что меньше 445. Костя, пытаясь максимизировать, мог бы вычеркнуть 1, чтобы осталось 4527, а затем Саша бы вычеркнул 7, получив 452. Но Костя вычеркнул 7, оставив 4512. Саша вычеркнул 5, получив 412.

Ответ: Да, Саша может получить число меньшее 445, как бы ни действовал Костя, если Саша будет играть оптимально.