13. Решите систему уравнений { y - x = -5, x² - 2xy - y² = 17.

Решение:

Данная система уравнений:

• \( y - x = -5 \)
• \( x^2 - 2xy - y^2 = 17 \)

Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = x - 5 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ x^2 - 2x(x - 5) - (x - 5)^2 = 17 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - (2x^2 - 10x) - (x^2 - 10x + 25) = 17 \]

\[ x^2 - 2x^2 + 10x - x^2 + 10x - 25 = 17 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ -2x^2 + 20x - 25 = 17 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ -2x^2 + 20x - 25 - 17 = 0 \]

\[ -2x^2 + 20x - 42 = 0 \]

Разделим обе части на -2:

\[ x^2 - 10x + 21 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) в уравнение \( y = x - 5 \):

Для \( x_1 = 7 \):

\[ y_1 = 7 - 5 = 2 \]

Для \( x_2 = 3 \):

\[ y_2 = 3 - 5 = -2 \]

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (7; 2) и (3; -2).