13. Решите неравенство x^2 - 6x \(\le\) 0.

Решение:

Для решения неравенства \( x^2 - 6x \le 0 \) сначала найдём корни соответствующего уравнения \( x^2 - 6x = 0 \).

1. Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x(x - 6) = 0 \).
2. Корни уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 6 \).
3. Теперь определим знак выражения \( x(x - 6) \) на интервалах, образованных корнями: \( (-\infty; 0] \), \( [0; 6] \) и \( [6; +\infty) \).
4. Метод интервалов:
• Возьмём тестовую точку из интервала \( (-\infty; 0) \), например, \( x = -1 \): \( (-1)(-1 - 6) = (-1)(-7) = 7 \). Выражение больше нуля (\( + \)).
• Возьмём тестовую точку из интервала \( (0; 6) \), например, \( x = 1 \): \( (1)(1 - 6) = (1)(-5) = -5 \). Выражение меньше нуля (\( - \)).
• Возьмём тестовую точку из интервала \( (6; +\infty) \), например, \( x = 7 \): \( (7)(7 - 6) = (7)(1) = 7 \). Выражение больше нуля (\( + \)).
5. Так как нам нужно решить неравенство \( x^2 - 6x \le 0 \) (то есть найти интервалы, где выражение меньше или равно нулю), выбираем интервал, где знак минус, а также включаем корни, так как неравенство нестрогое (\( \le \)).
6. Решение: \( [0; 6] \).

Ответ: [0; 6]