13. Решить ребус: АВВА+CDA =2012 Одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры.

Решение:

Это задача на криптоарифметику, где буквы обозначают цифры. У нас есть уравнение \( ABBA + CDA = 2012 \).

1. Анализ разрядов:

• Сумма двух четырёхзначных чисел (или четырёхзначного и трёхзначного) равна четырёхзначному числу.
• Так как \( ABBA \) — четырёхзначное число, \( A \) не может быть нулем.
• Сумма \( ABBA + CDA \) начинается с 2. Это означает, что \( A \) может быть 1 или 2. Однако, если \( A = 2 \), то \( ABBA \) будет больше \( 2000 \), и при сложении с \( CDA \) результат будет больше \( 2012 \), что невозможно, если \( C \) и \( D \) — цифры. Следовательно, \( A = 1 \).

2. Определяем \( A \):

Из анализа выше следует, что \( A = 1 \).

Тогда уравнение становится \( 1BB1 + CD1 = 2012 \).

3. Анализ разряда единиц:

\( 1 + 1 = 2 \). Это совпадает с последней цифрой результата (2).

4. Анализ разряда десятков:

\( B + D \) заканчивается на 1. Это означает, что \( B + D = 1 \) или \( B + D = 11 \).

5. Анализ разряда сотен:

\( B + C \) заканчивается на 0 (с учётом возможного переноса из предыдущего разряда). Если \( B + D = 1 \), то переноса нет. Тогда \( B + C = 0 \), что невозможно, так как \( B \) и \( C \) — цифры, и \( C \) не может быть нулем (иначе \( CDA \) было бы трёхзначным, но \( A \) уже 1, и \( 1BB1 + 0D1 = 2012 \) невозможно). Значит, \( B + D = 11 \), и есть перенос 1 в разряд сотен.

\( B + C + 1 \) (перенос) = 0. Это также невозможно, если \( B \) и \( C \) — цифры. У нас ошибка в интерпретации. Давайте пересмотрим.

\( ABBA + CDA = 2012 \). \( A = 1 \). Уравнение: \( 1BB1 + CD1 = 2012 \).

Разряд единиц: \( 1 + 1 = 2 \). Верно.

Разряд десятков: \( B + D = \text{...}1 \). Это значит \( B + D = 1 \) (без переноса) или \( B + D = 11 \) (с переносом 1).

Разряд сотен: \( B + C = \text{...}0 \). Если \( B+D=1 \), то переноса нет. Тогда \( B+C = 0 \), что невозможно. Значит, \( B+D=11 \), и есть перенос 1 в разряд сотен.

\( B + C + 1 \) (перенос) = \( \text{...}0 \). Это означает, что \( B + C + 1 \) должно заканчиваться на 0. Значит, \( B+C \) должно заканчиваться на 9. Возможные значения: \( B+C+1 = 10 \), то есть \( B+C = 9 \). Перенос 1 в разряд тысяч.

Разряд тысяч: \( 1 + 0 + 1 \) (перенос) = 2. Это соответствует результату.

Итак, у нас система условий:

• \( A = 1 \)
• \( B + D = 11 \)
• \( B + C = 9 \)
• \( B, C, D \) — разные цифры, отличные от 1.

6. Подбираем значения для \( B \) и \( D \), \( B \) и \( C \):

Возможные пары для \( B+D=11 \): (2,9), (3,8), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (8,3), (9,2). \( B \) не может быть 1 (так как \( A=1 \)).

Возможные пары для \( B+C=9 \): (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1) - (B=8, C=1) невозможно, так как A=1. (9,0).

Проверим варианты для \( B \):

Если \( B=2 \): \( D=9 \). \( C=7 \). Проверяем: \( A=1, B=2, C=7, D=9 \). Цифры разные. \( ABBA=1221 \), \( CDA=791 \). \( 1221 + 791 = 2012 \). Верно!

Если \( B=3 \): \( D=8 \). \( C=6 \). Проверяем: \( A=1, B=3, C=6, D=8 \). Цифры разные. \( ABBA=1331 \), \( CDA=681 \). \( 1331 + 681 = 2012 \). Верно!

Если \( B=4 \): \( D=7 \). \( C=5 \). Проверяем: \( A=1, B=4, C=5, D=7 \). Цифры разные. \( ABBA=1441 \), \( CDA=571 \). \( 1441 + 571 = 2012 \). Верно!

Если \( B=5 \): \( D=6 \). \( C=4 \). Проверяем: \( A=1, B=5, C=4, D=6 \). Цифры разные. \( ABBA=1551 \), \( CDA=461 \). \( 1551 + 461 = 2012 \). Верно!

Если \( B=6 \): \( D=5 \). \( C=3 \). Проверяем: \( A=1, B=6, C=3, D=5 \). Цифры разные. \( ABBA=1661 \), \( CDA=351 \). \( 1661 + 351 = 2012 \). Верно!

Если \( B=7 \): \( D=4 \). \( C=2 \). Проверяем: \( A=1, B=7, C=2, D=4 \). Цифры разные. \( ABBA=1771 \), \( CDA=241 \). \( 1771 + 241 = 2012 \). Верно!

Если \( B=8 \): \( D=3 \). \( C=1 \) - невозможно, так как \( A=1 \).

Если \( B=9 \): \( D=2 \). \( C=0 \). Проверяем: \( A=1, B=9, C=0, D=2 \). Цифры разные. \( ABBA=1991 \), \( CDA=021 \) - это трёхзначное число 21. \( 1991 + 21 = 2012 \). Верно!

7. Вывод:

Есть несколько решений. Поскольку в условии сказано "Одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры", но не сказано, что разные буквы должны обозначать разные цифры, мы нашли несколько вариантов. Если же разные буквы должны обозначать разные цифры, то мы ищем случаи, где \( A, B, C, D \) все разные.

Рассмотрим случаи, где \( A, B, C, D \) — разные цифры:

• \( A=1, B=2, C=7, D=9 \) → \( 1221 + 791 = 2012 \)
• \( A=1, B=3, C=6, D=8 \) → \( 1331 + 681 = 2012 \)
• \( A=1, B=4, C=5, D=7 \) → \( 1441 + 571 = 2012 \)
• \( A=1, B=5, C=4, D=6 \) → \( 1551 + 461 = 2012 \)
• \( A=1, B=6, C=3, D=5 \) → \( 1661 + 351 = 2012 \)
• \( A=1, B=7, C=2, D=4 \) → \( 1771 + 241 = 2012 \)

Если \( C=0 \) и \( D=2 \), то \( A=1, B=9 \) → \( 1991 + 021 = 2012 \). Здесь \( C=0 \) и \( D=2 \), \( A=1, B=9 \). Все цифры разные.

Наиболее вероятным решением, где все буквы обозначают разные цифры, является одно из первых шести.

Ответ: A=1, B=2, C=7, D=9 (или другие возможные комбинации, например: A=1, B=9, C=0, D=2).