13. PT = TS, ∠T, ∠TPS, ∠TSP - ? 17. SQ, ∠RQT - ? 14. ∠B = 53°, ∠CMB - ? 18. KN = 26, P△MКR = 32, MK - ?

13. Решение:

Треугольник PTS равнобедренный, так как PT = TS. Следовательно, углы при основании равны: ∠TPS = ∠TSP.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике PTS:

∠T + ∠TPS + ∠TSP = 180°

Так как ∠TPS = ∠TSP, то:

∠T + 2 * ∠TPS = 180°

Из рисунка видно, что ∠T = 130°.

130° + 2 * ∠TPS = 180°

2 * ∠TPS = 180° - 130°

2 * ∠TPS = 50°

∠TPS = 50° / 2

∠TPS = 25°

Значит, ∠TSP = 25°.

Ответ: ∠TPS = 25°, ∠TSP = 25°

17. Решение:

Треугольник PQR — прямоугольный, так как ∠P = 90°.

Нам дано PQ = 7,8 и RQ = 15,6.

Рассмотрим соотношение сторон PQ и RQ:

PQ / RQ = 7,8 / 15,6 = 1/2.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, ∠PRQ = 30°.

Сумма углов в треугольнике PQR равна 180°:

∠P + ∠PRQ + ∠PQR = 180°

90° + 30° + ∠PQR = 180°

∠PQR = 180° - 90° - 30°

∠PQR = 60°.

Угол ∠RQT — развернутый угол, равный 180°.

∠RQT = ∠RQS + ∠SQT

Нам нужно найти ∠RQT. Из рисунка видно, что ∠RQT является внешним углом треугольника RQS. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

∠RQT = ∠QRS + ∠QSR

Однако, у нас есть информация о треугольнике PQR. Также видно, что точка S лежит на отрезке PQ.

Рассмотрим треугольник RQS. Нам известно RQ = 15,6. Нам нужно найти SQ. Без дополнительной информации или более четкого изображения, определить SQ и ∠RQT затруднительно.

Исходя из данных, мы можем найти ∠PQR = 60°. Для нахождения SQ и ∠RQT требуется дополнительная информация.

14. Решение:

В треугольнике CDB ∠CDB = 90° и ∠B = 53°.

Сумма углов в треугольнике CDB равна 180°:

∠CDB + ∠B + ∠BCD = 180°

90° + 53° + ∠BCD = 180°

∠BCD = 180° - 90° - 53°

∠BCD = 37°.

В треугольнике ABC ∠A = 65° и ∠B = 53°.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:

∠A + ∠B + ∠ACB = 180°

65° + 53° + ∠ACB = 180°

∠ACB = 180° - 65° - 53°

∠ACB = 62°.

Мы видим, что ∠ACB = ∠ACD + ∠BCD. Но нам дано ∠ACB = 62° и ∠BCD = 37°. Следовательно, ∠ACD = 62° - 37° = 25°.

Теперь рассмотрим треугольник CMB. Мы хотим найти ∠CMB.

В треугольнике CDB, CD является высотой. В треугольнике ABC, CD также является высотой.

В треугольнике CMB, ∠MBC = 53°.

Нам нужно найти ∠CMB. Треугольник CMB не является прямоугольным, и нам неизвестны другие углы или стороны.

Однако, если мы рассмотрим треугольник CMD, то ∠CDM = 90°.

Если рассмотреть треугольник AMD, то ∠ADM = 90°.

Из рисунка видно, что CM является медианой, так как M, вероятно, середина AD. Но это не указано.

Предположим, что CD - высота, а CM - медиана. В прямоугольном треугольнике CDB, ∠BCD = 37°.

Если M - середина AD, то в треугольнике ACD, CM - медиана.

Рассмотрим треугольник ABC. ∠A = 65°, ∠B = 53°, ∠ACB = 62°.

В треугольнике CDB: ∠CDB = 90°, ∠B = 53°, ∠BCD = 37°.

В треугольнике CDA: ∠CDA = 90°, ∠A = 65°, ∠ACD = 25°.

Нам нужно найти ∠CMB. Заметим, что ∠CMB и ∠CMD являются смежными углами, их сумма равна 180°.

∠CMB + ∠CMD = 180°.

В прямоугольном треугольнике CMD, ∠CDM = 90°.

∠CMD + ∠MCD + ∠MDC = 180°

∠CMD + ∠MCD + 90° = 180°

∠CMD = 90° - ∠MCD.

Если M - середина AD, то ∠MCD = ∠ACD / 2 = 25° / 2 = 12.5° (это только если CD - биссектриса, что не так).

Если M - середина AD, тогда CM - медиана. В прямоугольном треугольнике ADC, если CM - медиана, то CM = AM = MD. Тогда треугольник CMD равнобедренный (CM=MD), и ∠MCD = ∠MDC = 90° (что невозможно).

Проверим условие ∠B = 53°. В треугольнике CMB, ∠B = 53°. Нам нужно найти ∠CMB.

Если CD - высота, и M - точка на CD, то ∠CMB - угол в треугольнике CMB.

Если мы примем, что M - середина AD, то в прямоугольном треугольнике ADC, CM - медиана. Точка M находится на CD.

Рассмотрим треугольник ADC: ∠A = 65°, ∠ACD = 25°, ∠ADC = 90°.

Точка M лежит на CD. Нам дано ∠B = 53°.

Предположим, что CD - это линия, на которой находится точка M. Также CD - высота, значит ∠CDB = 90°.

В треугольнике CDB, ∠B = 53°, ∠CDB = 90°, ∠BCD = 37°.

Точка M находится на CD. Нам нужно найти ∠CMB.

В треугольнике CMB, ∠MBC = 53°.

Нам нужно знать ∠MCB или ∠BMC.

Из рисунка видно, что M - это точка пересечения высоты CD и отрезка EB. Отрезок EB не является ни медианой, ни биссектрисой.

Пересмотрим условие: ∠B = 53°, ∠CMB - ?

В треугольнике ABC: ∠A=65, ∠B=53, ∠C=180-65-53=62.

В треугольнике CDB: ∠D=90, ∠B=53, ∠BCD=37.

Точка M лежит на CD. Отрезок EB пересекает CD в точке M.

В треугольнике AEB: ∠A=65, ∠B=53, ∠AEB = 180-65-53=62. Но EB не является высотой или биссектрисой.

На рисунке показано, что CD - высота (∠CDB = 90°). Также показано, что EM - высота (∠EMA = 90°).

Если EM - высота, то M находится на AB.

Но точка M обозначена на отрезке CD. Также есть обозначение ∠CDB = 90° (CD - высота) и ∠EMA = 90° (EM - высота).

Если CD - высота, то C, M, D лежат на одной линии. Если EM - высота, то E, M, B лежат на одной линии.

Точка M - это пересечение CD и EB. CD - высота из C на AB. EB - высота из E на AB.

Если CD - высота, то M лежит на AB. Но M лежит на CD.

Если CD - высота, то M - точка на CD.

Из рисунка видно, что CD - высота, так как ∠CDB=90. EB - высота, так как ∠AEB=90. M - точка пересечения CD и EB.

В треугольнике ABD: ∠A=65, ∠ADB=90. ∠ABD = 180 - 90 - 65 = 25°.

Но нам дано ∠B = 53°. Это ∠ABC.

В треугольнике ABC: ∠A=65, ∠B=53, ∠C=62.

CD - высота, значит ∠CDB=90.

EB - высота, значит ∠AEB=90.

M - точка пересечения CD и EB. M - ортоцентр треугольника ABC.

Нас просят найти ∠CMB.

В треугольнике CDB: ∠CDB = 90°, ∠B = 53°, ∠BCD = 37°.

В треугольнике ABE: ∠AEB = 90°, ∠A = 65°, ∠ABE = 25°.

Нам дано ∠ABC = 53°. Значит, ∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = 53° - 25° = 28°.

В треугольнике CMB, ∠MBC = ∠CBE = 28°.

Угол ∠BMC - это угол в треугольнике CMB.

Рассмотрим треугольник BDM. ∠BDM = 90°.

В треугольнике BDM: ∠DBM = 25°, ∠BDM = 90°, ∠BMD = 65°.

Угол ∠CMB и ∠BMD являются смежными, поэтому ∠CMB + ∠BMD = 180°.

∠CMB = 180° - ∠BMD = 180° - 65° = 115°.

Ответ: ∠CMB = 115°

18. Решение:

Дано: KN = 26, P△MКR = 32.

Нужно найти MK.

Из рисунка видно, что RE - высота треугольника MKN, так как ∠REN = 90°.

Также видно, что E - середина MN, так как ME = EN. Следовательно, RE - медиана.

Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то треугольник является равнобедренным.

Следовательно, треугольник MKN - равнобедренный, и MK = KN.

Нам дано KN = 26.

Значит, MK = 26.

Ответ: MK = 26