13. Постройте график функции y = x³ - 2,5x² + 2x

Решение:

Чтобы построить график функции \( y = x^3 - 2.5x^2 + 2x \), найдём её производную, критические точки и точки экстремума.

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^3 - 2.5x^2 + 2x)' = 3x^2 - 5x + 2 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \).
4. Корни уравнения: \( x_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) и \( x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \).
5. Определим знаки производной на интервалах:
   • При \( x < \frac{2}{3} \) (например, \( x = 0 \)), \( y' = 3(0)^2 - 5(0) + 2 = 2 > 0 \) — функция возрастает.
   • При \( \frac{2}{3} < x < 1 \) (например, \( x = 0.8 \)), \( y' = 3(0.8)^2 - 5(0.8) + 2 = 3(0.64) - 4 + 2 = 1.92 - 4 + 2 = -0.08 < 0 \) — функция убывает.
   • При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)), \( y' = 3(2)^2 - 5(2) + 2 = 12 - 10 + 2 = 4 > 0 \) — функция возрастает.
6. Найдём значения функции в критических точках:
   • При \( x = \frac{2}{3} \): \( y = (\frac{2}{3})^3 - 2.5(\frac{2}{3})^2 + 2(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - 2.5 \cdot \frac{4}{9} + \frac{4}{3} = \frac{8}{27} - \frac{10}{9} + \frac{4}{3} = \frac{8 - 30 + 36}{27} = \frac{14}{27} \approx 0.52 \) (точка максимума).
   • При \( x = 1 \): \( y = 1^3 - 2.5(1)^2 + 2(1) = 1 - 2.5 + 2 = 0.5 \) (точка минимума).
7. Найдём точки пересечения с осями координат:
   • При \( x = 0 \): \( y = 0^3 - 2.5(0)^2 + 2(0) = 0 \). Точка (0, 0).
   • При \( y = 0 \): \( x^3 - 2.5x^2 + 2x = 0 \) \( x(x^2 - 2.5x + 2) = 0 \). Один корень \( x = 0 \). Решим \( x^2 - 2.5x + 2 = 0 \). Дискриминант \( D = (-2.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 6.25 - 8 = -1.75 \). Так как \( D < 0 \), других действительных корней нет.

Ответ: график функции построен. Точки экстремума: \( (\frac{2}{3}, \frac{14}{27}) \) (максимум) и \( (1, 0.5) \) (минимум). Пересечение с осями в точке (0, 0).