13. Как известно, девятнадцатилетний Михаил Ломоносов отправился из Холмогор (Архан-гельская область) в Москву для поступления в Славяно-греко-латинскую академию. Первые три дня пути он шёл, догоняя обоз, который отправился из Холмогор. Сколько километров прошёл М. Ломоносов, догоняя обоз, если в первый день он преодолел 10/29 всего пути, во второй день 4/5 пути, пройденного в первый день, а в третий день — остальные 66 км?

Для решения этой задачи, нам нужно выяснить, какую часть пути прошёл Ломоносов за первые два дня, а затем найти общий путь.

1. Рассчитаем, какую часть пути прошёл Ломоносов во второй день:

   Во второй день он прошёл $\backslash (\backslash frac\{4\}\{5\}\backslash )$ от пути, пройденного в первый день. В первый день он прошёл $\backslash (\backslash frac\{10\}\{29\}\backslash )$ всего пути. Значит, во второй день он прошёл:

   $\backslash (\backslash frac\{10\}\{29\}\backslash )\; \backslash (\backslash times\backslash )\; \backslash (\backslash frac\{4\}\{5\}\backslash )\; =\; \backslash (\backslash frac\{10\; \backslash times\; 4\}\{29\; \backslash times\; 5\}\backslash )\; =\; \backslash (\backslash frac\{40\}\{145\}\backslash )$ всего пути. Этот дробь можно сократить на 5: $\backslash (\backslash frac\{40\}\{145\}\backslash )\; =\; \backslash (\backslash frac\{8\}\{29\}\backslash )$ всего пути.

2. Рассчитаем, какую часть пути прошёл Ломоносов за первые два дня:

   Сложим части пути, пройденного в первый и второй день:

   $\backslash (\backslash frac\{10\}\{29\}\backslash )\; +\; \backslash (\backslash frac\{8\}\{29\}\backslash )\; =\; \backslash (\backslash frac\{10\; +\; 8\}\{29\}\backslash )\; =\; \backslash (\backslash frac\{18\}\{29\}\backslash )$ всего пути.

3. Рассчитаем, какую часть пути составляют оставшиеся 66 км (третий день):

   Если за первые два дня пройдено $\backslash (\backslash frac\{18\}\{29\}\backslash )$ всего пути, то оставшаяся часть равна:

   $1\; -\; \backslash (\backslash frac\{18\}\{29\}\backslash )\; =\; \backslash (\backslash frac\{29\}\{29\}\backslash )\; -\; \backslash (\backslash frac\{18\}\{29\}\backslash )\; =\; \backslash (\backslash frac\{11\}\{29\}\backslash )$ всего пути.

4. Рассчитаем общий путь:

   Мы знаем, что $\backslash (\backslash frac\{11\}\{29\}\backslash )$ всего пути составляют 66 км. Чтобы найти весь путь, разделим 66 км на эту дробь:

   $66\; \backslash (\backslash div\backslash )\; \backslash (\backslash frac\{11\}\{29\}\backslash )\; =\; 66\; \backslash (\backslash times\backslash )\; \backslash (\backslash frac\{29\}\{11\}\backslash )$

   Можно сначала разделить 66 на 11:

   $\backslash (66\; \backslash div\; 11\backslash )\; \backslash (\backslash times\backslash )\; 29\; =\; 6\; \backslash (\backslash times\backslash )\; 29$

   Теперь умножим:

   $6\; \backslash (\backslash times\backslash )\; 29\; =\; 174$ км.

Ответ: 174 км.